某市第二届风筝节——以鹞会友活动于4月9日在西区公园举行.如-优题课

如图1，在四边形 $ABCD$ 中，若 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $A C^{2} = AB \cdot AD$ ，且 $AD = AB + AC$ ，则我们称这样的四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”， $∠ BAD$ 称为“黄金角”．

【概念理解】（1）已知四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”， $∠ BAD$ 为“黄金角”， $AB < AD$ ，若 $AD = 1$ ，则 $AC =$ 　　．

【问题探究】（2）如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $BC / / AD$ ， $∠ BAC = ∠ DAC = ∠ D = 36 °$ ．求证：四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”．

【拓展延伸】（3）如图3，在“黄金四边形” $ABC A_{1}$ 中， $∠ BA A_{1}$ 为“黄金角”， $AB < A A_{1}$ ，在四边形 $ABC A_{1}$ 外部依次作△ $A A_{1} A_{2}$ ，△ $A A_{2} A_{3}$ ， $\dots$ ，使四边形 $AC A_{1} A_{2}$ ， $A A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $\dots$ 均为“黄金四边形”，且满足 $∠ CA A_{2}$ ， $∠ A_{n} A A_{n + 2} (n = 1$ ，2， $3 \dots)$ 均为“黄金角”， $A A_{n} < A A_{n + 1} (n = 1$ ，2， $3 \dots)$

①若 $AC = 1$ ，则第 $n$ 个“黄金四边形”中， $A A_{n} =$ 　　（用含 $n$ 的式子表示）．

②若“黄金角” $∠ BA A_{1} = 80 °$ ，则当 $A$ ， $B$ ， $A_{n}$ 三点第一次在同一条直线上时， $n =$ 　　．

某公司设计了一款产品，每件成本是50元，在试销期间，据市场调查，销售单价是60元时，每天的销量是250件，而销售单价每增加1元，每天会少售出5件，公司决定销售单价 $x$ （元 $)$ 不低于60元，而市场要求 $x$ 不得超过100元．

（1）求出每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）求出每天的销售利润 $W$ （元 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系式，并求出当 $x$ 为多少时，每天的销售利润最大，并求出最大值；

（3）若该公司要求每天的销售利润不低于4000元，但每天的总成本不超过6250元，则销售单价 $x$ 最低可定为多少元？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AC$ 是 $⊙ O$ 的弦， $OD ⊥ AB$ ， $OD$ 与 $AC$ 的延长线交于点 $D$ ，点 $E$ 在 $OD$ 上，且 $CE = DE$ ．

（1）求证：直线 $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OA = 2 \sqrt{3}$ ， $AC = 3$ ，求 $CD$ 的长．

有四张正面分别标有数字1，2， $- 3$ ， $- 4$ 的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地抽取一张不放回，将该卡片上的数字记为 $m$ ，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为 $n$ ．

（1）请用画树状图或列表法写出 $(m, n)$ 所有的可能情况；

（2）求所选的 $m$ ， $n$ 能使一次函数 $y = mx + n$ 的图象经过第一、三、四象限的概率．

为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，我国一艘海监船在 $A$ 处巡航时，监测到在正东方向的 $B$ 处有一艘可疑船只正匀速向正北方向航行，我国海监船立即沿北偏东 $45 °$ 方向对该船只实施拦截，航行 $60 nmile$ 后到达 $C$ 处，发现此时可疑船只在正东方向的 $D$ 处，我国海监船决定改变航向，沿北偏东 $60 °$ 方向继续加速航行，又航行 $60 nmile$ 后在 $E$ 处将该可疑船只成功拦截（结果保留根号）

（1）求当我国海监船到达 $C$ 处时，离可疑船只的距离 $CD$ ；

（2）成功拦截后，发现整个过程用时 $2 h$ ，求可疑船只的航行速度．