解方程组：-优题课

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = a$ ， $BC = b$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $AB$ ， $CD$ 上，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $BC$ ， $AD$ 上， $MN$ ， $EF$ 交于点 $P$ ，记 $k = MN : EF$ ．

（1）若 $a : b$ 的值为1，当 $MN ⊥ EF$ 时，求 $k$ 的值．

（2）若 $a : b$ 的值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $k$ 的最大值和最小值．

（3）若 $k$ 的值为3，当点 $N$ 是矩形的顶点， $∠ MPE = 60 °$ ， $MP = EF = 3 PE$ 时，求 $a : b$ 的值．

如图1是实验室中的一种摆动装置， $BC$ 在地面上，支架 $ABC$ 是底边为 $BC$ 的等腰直角三角形，摆动臂 $AD$ 可绕点 $A$ 旋转，摆动臂 $DM$ 可绕点 $D$ 旋转， $AD = 30$ ， $DM = 10$ ．

（1）在旋转过程中，

①当 $A$ ， $D$ ， $M$ 三点在同一直线上时，求 $AM$ 的长．

②当 $A$ ， $D$ ， $M$ 三点为同一直角三角形的顶点时，求 $AM$ 的长．

（2）若摆动臂 $AD$ 顺时针旋转 $90 °$ ，点 $D$ 的位置由 $ΔABC$ 外的点 $D_{1}$ 转到其内的点 $D_{2}$ 处，连结 $D_{1} D_{2}$ ，如图2，此时 $∠ A D_{2} C = 135 °$ ， $C D_{2} = 60$ ，求 $B D_{2}$ 的长．

有一块形状如图的五边形余料 $ABCDE$ ， $AB = AE = 6$ ， $BC = 5$ ， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 135 °$ ， $∠ E > 90 °$ ，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在 $AE$ 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

（1）若所截矩形材料的一条边是 $BC$ 或 $AE$ ，求矩形材料的面积．

（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

在屏幕上有如下内容：

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $AB$ 的长为2，过点 $C$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $D$ ．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．

（1）在屏幕内容中添加条件 $∠ D = 30 °$ ，求 $AD$ 的长．请你解答．

（2）以下是小明、小聪的对话：

小明：我加的条件是 $BD = 1$ ，就可以求出 $AD$ 的长

小聪：你这样太简单了，我加的是 $∠ A = 30 °$ ，连结 $OC$ ，就可以证明 $ΔACB$ 与 $ΔDCO$ 全等．

参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．

如图1为放置在水平桌面 $l$ 上的台灯，底座的高 $AB$ 为 $5 cm$ ，长度均为 $20 cm$ 的连杆 $BC$ ， $CD$ 与 $AB$ 始终在同一平面上．

（1）转动连杆 $BC$ ， $CD$ ，使 $∠ BCD$ 成平角， $∠ ABC = 150 °$ ，如图2，求连杆端点 $D$ 离桌面 $l$ 的高度 $DE$ ．

（2）将（1）中的连杆 $CD$ 再绕点 $C$ 逆时针旋转，使 $∠ BCD = 165 °$ ，如图3，问此时连杆端点 $D$ 离桌面 $l$ 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到 $0.1 cm$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$