如图，是⊙O的直径，为延长线上的一点，交⊙O于点，且．（1）-优题课

如图，是⊙O的直径，为延长线上的一点，交⊙O于点，且．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）请直接写出图中某３条线段之间的等量关系式，只要写出3个。（添加的辅助线不能用）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图， $ΔABC$ 和 $ΔDEF$ 都是等腰直角三角形， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ， $DE = DF$ ， $∠ EDF = 90 °$ ， $D$ 为 $BC$ 边中点，连接 $AF$ ，且 $A$ 、 $F$ 、 $E$ 三点恰好在一条直线上， $EF$ 交 $BC$ 于点 $H$ ，连接 $BF$ ， $CE$ ．

（1）求证： $AF = CE$ ；

（2）猜想 $CE$ ， $BF$ ， $BC$ 之间的数量关系，并证明；

（3）若 $CH = 2$ ， $AH = 4$ ，请写出线段 $AC$ ， $AE$ 的长．

某商家正在热销一种商品，其成本为30元 $/$ 件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元 $/$ 件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量 $y$ （件 $)$ 与售价 $x$ （元 $/$ 件）满足如图所示的函数关系（其中 $40 ⩽ x ⩽ 70$ ，且 $x$ 为整数）．

（1）写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 直径，点 $C$ ， $D$ 为 $⊙ O$ 上的两点，且 $\hat{AD} = \hat{CD}$ ，连接 $AC$ ， $BD$ 交于点 $E$ ， $⊙ O$ 的切线 $AF$ 与 $BD$ 延长线相交于点 $F$ ， $A$ 为切点．

（1）求证： $AF = AE$ ；

（2）若 $AB = 8$ ， $BC = 2$ ，求 $AF$ 的长．

小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在 $A$ 处时， $D$ 处学校和 $E$ 处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了 $600 m$ 到达 $B$ 处时， $E$ 处图书馆在他的北偏东 $15 °$ 方向，然后他由 $B$ 处继续向正东方向跑 $600 m$ 到达 $C$ 处，此时 $D$ 处学校在他的北偏西 $63.4 °$ 方向，求 $D$ 处学校和 $E$ 处图书馆之间的距离．（结果保留整数）

（参考数据： $\sin 63.4 ° \approx 0.9$ ， $\cos 63.4 ° \approx 0.4$ ， $\tan 63.4 ° \approx 2.0$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{6} \approx 2.4)$

为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多 $20 %$ ，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．

（1）求这两种图书的单价分别是多少元？

（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？

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