已知圆O：
交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为
的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交直线
于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．
已知数列
中
．
（1）是否存在实数
，使数列
是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若
是数列的前
项和，求满足
的所有正整数．
如图，在平面直角坐标系
中，离心率为
的椭圆
的左顶点为
，过原点
的直线（与坐标轴不重合）与椭圆
交于
两点，直线
分别与
轴交于
两点．若直线
斜率为时，
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试问以
为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．
（本小题满分15分）某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛
附近．现派出四艘搜救船
，为方便联络，船
始终在以小岛为圆心，100海里为半径的圆上，船构成正方形编队展开搜索，小岛在正方形编队外（如图）．设小岛到
的距离为
，
船到小岛的距离为
．
（1）请分别求关于
的函数关系式
；并分别写出定义域；
（2）当两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即最大）．
如图，在正方体
中，
分别是
中点．
求证：（1）
∥平面
；
（2）
平面．
【原创】（本小题满分14分）设
是单位圆上三点，
为锐角．
（1）若
求
（2）若
求三角形
面积的最大值．