先阅读下面材料，再解答问题：初中数学教科书中有这样一段叙述：-优题课

先阅读下面材料，再解答问题：
初中数学教科书中有这样一段叙述：“要比较与的大小，可先求出与的差，再看这个差是正数，负数还是零.由此可见，要比较两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了.
甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮食用去100元，设甲、乙两人第一次购粮食的单价为每千克x元，第二次购买粮食的单价为每千克y元
（1）用含x、y的代数式表示：甲每次购买粮食共需要付款______元，乙两次共购买_________千克粮食，若甲两次购买粮食的平均单价为元，乙两次购买粮食的平均单价为元，
则=_______，=_________. (共四个填空）
（2）若规定“谁两次购买粮食的平均单价低，谁的购买粮食方式更合算”，请你判断甲、乙两人的购买粮食方式那一个更合算些，并说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二元一次不定方程的应用分式函数的最值

班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍 $8 : 00$ 从学校出发．苏老师因有事情， $8 : 30$ 从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：

（1）大巴与小车的平均速度各是多少？

（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？

密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2， $\dots 9$ ．小黄同学是9月份中旬出生，用生日“月份 $+$ 日期”设置密码： $9 \times \times$

小张同学要破解其密码：

（1）第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是　　．

（2）请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；

（3）小张同学是6月份出生，根据（1）（2）的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数．

平行四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $AB = 2 AD$ ， $BD$ 的中垂线分别交 $AB$ ， $CD$ 于点 $E$ ， $F$ ，垂足为 $O$ ．

（1）求证： $OE = OF$ ；

（2）若 $AD = 6$ ，求 $\tan ∠ ABD$ 的值．

如图，已知菱形 $ABCD$ 的对称中心是坐标原点 $O$ ，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与 $AD$ 边交于 $E (- 4, \frac{1}{2})$ ， $F (m, 2)$ 两点．

（1）求 $k$ ， $m$ 的值；

（2）写出函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象在菱形 $ABCD$ 内 $x$ 的取值范围．

请完成如下探究系列的有关问题：

探究1：如图1， $ΔABC$ 是等腰直角三角形， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $D$ 为 $BC$ 上一动点，连接 $AD$ ，以 $AD$ 为边在 $AD$ 的右侧作正方形 $ADEF$ ，连接 $CF$ ，则线段 $CF$ ， $BD$ 之间的位置关系为　　，数量关系为　　．

探究2：如图2，当点 $D$ 运动到线段 $BC$ 的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）

探究3：如图3，如果 $AB \neq AC$ ， $∠ BAC \neq 90 °$ ， $∠ BCA$ 仍然保留为 $45 °$ ，点 $D$ 在线段 $BC$ 上运动，请你判断线段 $CF$ ， $BD$ 之间的位置关系，并说明理由．

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