学校为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树-优题课

学校为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．
（Ⅰ）求移栽的4株大树中恰有3株成活的概率；
（Ⅱ）设移栽的4株大树中成活的株数为,求分布列与期望．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：随机思想的发展

如图，设 $P$ 是抛物线 $C_{1}$ : $x^{2} = y$ 上动点。圆 $C_{2}$ : $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ 的圆心为点 $M$ ，过点 $P$ 做圆 $C_{2}$ 的两条切线，交直线 $l$ ： $y = - 3$ 于 $A, B$ 两点。（Ⅰ）求 $C_{2}$ 的圆心 $M$ 到抛物线 $C_{1}$ 准线的距离。
（Ⅱ）是否存在点 $P$ ，使线段 $A B$ 被抛物线 $C_{1}$ 在点 $P$ 处得切线平分，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

设函数 $f (x) = a^{2} \ln x - x^{2} + a x (a > 0)$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 单调区间;

（Ⅱ）求所有实数 $a$ ，使 $e - 1 \leq f (x) \leq e^{2}$ 对 $x \in [1, e]$ 恒成立.注： $e$ 为自然对数的底数

如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，垂足 $O$ 落在线段 $A D$ 上.
（Ⅰ）证明： $A P$ $⊥$ $B C$ ；

（Ⅱ）已知 $B C = 8$ ， $P O = 4$ ， $A O = 3$ ， $O D = 2$ .求二面角 $B - A P - C$ 的大小.

已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1}$ 为 $a$ ( $a \in R$ ),且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, \frac{1}{a_{4}}$ 成等比数列

（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

（Ⅱ）对 $n \in N^{+}$ ，试比较 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{2^{2}}} + . . . + \frac{1}{a_{2^{n}}}$ 与 $\frac{1}{a_{1}}$ 的大小.

已知函数 $f (x) = A \sin (\frac{π}{3} x + φ), x \in R, A > 0, 0 < φ < \frac{π}{2} . y = f (x)$ 的部分图像，如图所示， $P, Q$ 分别为该图像的最高点和最低点，点 $P$ 的坐标为 $(1, A)$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期及 $φ$ 的值；

（Ⅱ）若点 $R$ 的坐标为 $(1, 0)$ ， $∠ P R Q = \frac{2 π}{3}, 求 A 的值 .$

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