随机抽取某厂的某种产品100件,经质检,其中有一等品63件、二等品25件、三等品10件、次品2件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为.
(1)求的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为,一等品率提高为
.如果此时要求1件产品的平均利润不小于5.13万元,则三等品率最多是多少?
(本小题满分13分)为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.
(Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;
(Ⅱ)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.
(本小题满分13分)在中,角
,
,
所对的边分别为
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求边
的长.
(本小题满分14分)
已知集合,若集合
,且对任意的
,存在
,使得
(其中
),则称集合
为集合
的一个
元基
底.
(Ⅰ)分别判断下列集合是否为集合
的一个二元基底,并说明理由;
①,
;
②,
.
(Ⅱ)若集合是集合
的一个
元基底,证明:
;
(Ⅲ)若集合为集合
的一个
元基底,求出
的最小可能值,并写出当
取最小值时
的一个基底
.
(本小题满分14分)
已知焦点在轴上的椭圆
过点
,且离心率为
,
为椭圆
的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知过点的直线
与椭圆
交于
,
两点.
(ⅰ)若直线垂直于
轴,求
的
大小;
(ⅱ)若直线与
轴不垂直,是否存在直线
使得
为等腰三角形?如果存在,求出直线
的方程;如果不存在,请说明理由.
(本小题满分13分)
已知函数,其中
是常数.
(Ⅰ)当时,求
曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若存在实数,使得关于
的方程
在
上有两个不相等的实数根,求
的取值范围.