甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位-优题课

甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛.
（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BD$ ， $CF ⊥ BD$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ．

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 $AECF$ 为平行四边形，你添加的条件是　　；

（2）添加了条件后，证明四边形 $AECF$ 为平行四边形．

计算： ${(- 1)}^{2021} + | - 2 | + 4 \sin 30 ° - {(\sqrt[3]{8} - π)}^{0}$ ．

已知关于 $x$ 的二次函数 $y_{1} = x^{2} + bx + c$ （实数 $b$ ， $c$ 为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0, 4)$ ，对称轴为 $x = 1$ ，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^{2} - c = 0$ ，当 $b - 3 ⩽ x ⩽ b$ 时，二次函数的最小值为21，求 $b$ 的值；

（3）记关于 $x$ 的二次函数 $y_{2} = 2 x^{2} + x + m$ ，若在（1）的条件下，当 $0 ⩽ x ⩽ 1$ 时，总有 $y_{2} ⩾ y_{1}$ ，求实数 $m$ 的最小值．

如图1， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 是 $⊙ O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $∠ EAB$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ AE$ ，交 $AE$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $A C^{2} = 2 AD \cdot AO$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $BE$ ， $BC$ ，延长 $AB$ 至点 $M$ ， $∠ EBM$ 的平分线交 $AC$ 的延长线于点 $P$ ， $∠ CAB$ 的平分线交 $∠ CBM$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $∠ P = ∠ Q$ ．

已知锐角 $ΔABC$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，边角总满足关系式： $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ ．

（1）如图1，若 $a = 6$ ， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 75 °$ ，求 $b$ 的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 $ABC$ 中建一座小型景观桥 $CD$ （如图2所示），若 $CD ⊥ AB$ ， $AC = 14$ 米， $AB = 10$ 米， $\sin ∠ ACB = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，求景观桥 $CD$ 的长度．