如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FBCE，ACDF-优题课

如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．

供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

如图， $PA$ 、 $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 、 $B$ 是切点， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $OP$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $BC / / OP$ ；

（2）若 $E$ 恰好是 $OD$ 的中点，且四边形 $OAPB$ 的面积是 $16 \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积；

（3）若 $\sin ∠ BAC = \frac{1}{3}$ ，且 $AD = 2 \sqrt{3}$ ，求切线 $PA$ 的长．

我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：

（1）笼中鸡、兔各有多少只？

（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？

黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有： $A$ ．铜绿山古铜矿遗址， $B$ ．黄石国家矿山公园， $C$ ．湖北水泥遗址博物馆， $D$ ．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有　　人，扇形统计图中 $A$ 部分所对应的扇形圆心角是　　；

（2）补全条形统计图；

（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入 $A$ 、 $B$ 两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 mx + m^{2} + m = 0$ 有实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求 $m$ 的值．

如图， $D$ 是 $ΔABC$ 的边 $AB$ 上一点， $CF / / AB$ ， $DF$ 交 $AC$ 于 $E$ 点， $DE = EF$ ．

（1）求证： $ΔADE ≅ ΔCFE$ ；

（2）若 $AB = 5$ ， $CF = 4$ ，求 $BD$ 的长．

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