解方程：-优题课

（1）计算 ${(- 2)}^{2} - | - \sqrt{2} | - 2 \cos 45 ° + {(2020 - π)}^{0}$ ；

（2）先化简，再求值： $(\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^{2} - 1}) \div \frac{a}{a - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{5} - 1$ ．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = x + 1$ 与直线 $l_{2} : x = - 2$ 相交于点 $D$ ，点 $A$ 是直线 $l_{2}$ 上的动点，过点 $A$ 作 $AB ⊥ l_{1}$ 于点 $B$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 3)$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．设点 $A$ 的纵坐标为 $t$ ， $ΔABC$ 的面积为 $s$ ．

（1）当 $t = 2$ 时，请直接写出点 $B$ 的坐标；

（2） $s$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $s = \{\begin{matrix} \frac{1}{4} t^{2} + bt - \frac{5}{4}, t 〈- 1 或 t〉 5 \\ a (t + 1) (t - 5), - 1 < t < 5 \end{matrix}$ ，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出 $a$ 与 $b$ 的值；

（3）在 $l_{2}$ 上是否存在点 $A$ ，使得 $ΔABC$ 是直角三角形？若存在，请求出此时点 $A$ 的坐标和 $ΔABC$ 的面积；若不存在，请说明理由．

如图，在 $ΔACE$ 中，以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $CE$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ，且 $∠ DAE = ∠ ACE$ ，连接 $OD$ 并延长交 $AE$ 的延长线于点 $P$ ， $PB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ．

（1）求证： $AP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $AB$ 交 $OP$ 于点 $F$ ，求证： $ΔFAD ∽ ΔDAE$ ；

（3）若 $\tan ∠ OAF = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{AE}{AP}$ 的值．

倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出 $A$ 型和 $B$ 型两款垃圾分拣机器人，已知2台 $A$ 型机器人和5台 $B$ 型机器人同时工作 $2 h$ 共分拣垃圾3.6吨，3台 $A$ 型机器人和2台 $B$ 型机器人同时工作 $5 h$ 共分拣垃圾8吨．

（1）1台 $A$ 型机器人和1台 $B$ 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？

（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 $A$ 型和 $B$ 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买 $A$ 型机器人 $a$ 台 $(10 ⩽ a ⩽ 45)$ ， $B$ 型机器人 $b$ 台，请用含 $a$ 的代数式表示 $b$ ；

（3）机器人公司的报价如下表：

型号	原价	购买数量少于30台	购买数量不少于30台
$A$ 型	20万元 $/$ 台	原价购买	打九折
$B$ 型	12万元 $/$ 台	原价购买	打八折

在（2）的条件下，设购买总费用为 $w$ 万元，问如何购买使得总费用 $w$ 最少？请说明理由．

如图，一艘渔船位于小岛 $B$ 的北偏东 $30 °$ 方向，距离小岛 $40 nmile$ 的点 $A$ 处，它沿着点 $A$ 的南偏东 $15 °$ 的方向航行．

（1）渔船航行多远距离小岛 $B$ 最近（结果保留根号）？

（2）渔船到达距离小岛 $B$ 最近点后，按原航向继续航行 $20 \sqrt{6} nmile$ 到点 $C$ 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 $B$ 上的救援队求救，问救援队从 $B$ 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？