某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止.
（Ⅰ）求某乘客在第
层下电梯的概率
；
（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；
（Ⅲ）求电梯停下的次数
的数学期望.
（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
已知等差数列
满足：
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.
（本题共12分，第（Ⅰ）问4分, 第（Ⅱ）问8分）
已知曲线
．从点
向曲线
引斜率为
的切线
，切点为
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）证明：
．
（本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）
设椭圆
过点
，且左焦点为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）当过点
的动直线
与椭圆相交于不同两点
时，在线段
上取点
，满足
．证明：点总在某定直线上．
（本题共12分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问6分）
已知函数
，
．
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若函数
的图象与
轴有
个不同的交点，求
的取值范围．
（本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，且
.
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若
，求面积的最大值．