在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，请解答下列问题：-优题课

在 $8 \times 5$ 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 $OABC$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0)$ ， $A (3, 4)$ ， $B (8, 4)$ ， $C (5, 0)$ ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段 $CB$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ ，画出对应线段 $CD$ ；

（2）在线段 $AB$ 上画点 $E$ ，使 $∠ BCE = 45 °$ （保留画图过程的痕迹）；

（3）连接 $AC$ ，画点 $E$ 关于直线 $AC$ 的对称点 $F$ ，并简要说明画法．

为改善民生：提高城市活力，某市有序推行"地摊经济"政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别： $A$ 表示"非常支持"， $B$ 表示"支持"， $C$ 表示"不关心"， $D$ 表示"不支持"，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取了　　名居民进行调查统计，扇形统计图中， $D$ 类所对应的扇形圆心角的大小是　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示"支持"的 $B$ 类居民大约有多少人？

如图直线 $EF$ 分别与直线 $AB$ ， $CD$ 交于点 $E$ ， $F$ ． $EM$ 平分 $∠ BEF$ ， $FN$ 平分 $∠ CFE$ ，且 $EM / / FN$ ．求证： $AB / / CD$ ．

计算： $[a^{3} \cdot a^{5} + {(3 a^{4})}^{2}] \div a^{2}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 的对称轴为直线 $x = \frac{3}{2}$ ，其图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ $(4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）直接写出抛物线的解析式和 $∠ CAO$ 的度数；

（2）动点 $M$ ， $N$ 同时从 $A$ 点出发，点 $M$ 以每秒3个单位的速度在线段 $AB$ 上运动，点 $N$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度在线段 $AC$ 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 $t (t > 0)$ 秒，连接 $MN$ ，再将线段 $MN$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $90 °$ ，设点 $N$ 落在点 $D$ 的位置，若点 $D$ 恰好落在抛物线上，求 $t$ 的值及此时点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，设 $P$ 为抛物线上一动点， $Q$ 为 $y$ 轴上一动点，当以点 $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔMDB$ 相似时，请直接写出点 $P$ 及其对应的点 $Q$ 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）