如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx1的对称轴为直线-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 的对称轴为直线 $x = \frac{3}{2}$ ，其图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ $(4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）直接写出抛物线的解析式和 $∠ CAO$ 的度数；

（2）动点 $M$ ， $N$ 同时从 $A$ 点出发，点 $M$ 以每秒3个单位的速度在线段 $AB$ 上运动，点 $N$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度在线段 $AC$ 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 $t (t > 0)$ 秒，连接 $MN$ ，再将线段 $MN$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $90 °$ ，设点 $N$ 落在点 $D$ 的位置，若点 $D$ 恰好落在抛物线上，求 $t$ 的值及此时点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，设 $P$ 为抛物线上一动点， $Q$ 为 $y$ 轴上一动点，当以点 $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔMDB$ 相似时，请直接写出点 $P$ 及其对应的点 $Q$ 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质一次函数的性质待定系数法求二次函数解析式相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质二次函数综合题