如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,已知,，，以所在直线-优题课

题文

如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,已知,，，以所在直线为轴，为坐标原点，建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针方向旋转得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点）（如图）.

⑴在直线DC上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，写出出点的坐标，若不存在，请说明理由.
⑵将等腰梯形ABCD沿轴的正半轴平行移动，设移动后的（0<x≤6），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式.并求出重叠部分的面积的最大值。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

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如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $EF$ 经过 $O$ ，分别交 $AB$ 、 $CD$ 于点 $E$ 、 $F$ ， $EF$ 的延长线交 $CB$ 的延长线于 $M$ ．

（1）求证： $OE = OF$ ；

（2）若 $AD = 4$ ， $AB = 6$ ， $BM = 1$ ，求 $BE$ 的长．

某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：

商品	甲	乙
进价（元 $/$ 件）	$x + 60$	$x$
售价（元 $/$ 件）	200	100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为 $a$ 件 $(a ⩾ 30)$ ，设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为 $w$ 元，求 $w$ 与 $a$ 之间的函数关系式，并求出 $w$ 的最小值．

某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：

（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数；

（2）补全折线统计图；

（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？

（1）计算： $| - 2 | + \sqrt{9} - 2019^{0} - 2 \sin 30 °$

（2）先化简，再求值： $(\frac{a^{2} - 2 a}{a^{2} - 4 a + 4} - \frac{3}{a - 2}) \div \frac{a^{2} - 9}{a - 2}$ ，其中 $a = 1$ ．

如图，顶点为 $P (3, 3)$ 的二次函数图象与 $x$ 轴交于点 $A (6, 0)$ ，点 $B$ 在该图象上， $OB$ 交其对称轴 $l$ 于点 $M$ ，点 $M$ 、 $N$ 关于点 $P$ 对称，连接 $BN$ 、 $ON$ ．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）若点 $B$ 在对称轴 $l$ 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接 $OP$ ，当 $OP = \frac{1}{2} MN$ 时，请判断 $ΔNOB$ 的形状，并求出此时点 $B$ 的坐标．

②求证： $∠ BNM = ∠ ONM$ ．

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