如图:△ABC和△ADE是等边三角形，证明：BDCE.-优题课

先化简，再选一个合适的数代入求值： $(x + 1 - \frac{7 x - 9}{x}) \div \frac{x^{2} - 9}{x}$ ．

解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x - 1 < x + 4 ① \\ \frac{2}{3} x - \frac{3 x + 1}{2} ⩽ \frac{1}{3} ② \end{matrix}$ ．

计算： $2^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} \cdot \sqrt{4} - 4 \tan 45 °$ ．

已知函数 $y_{1} = x + 2 m - 1$ ， $y_{2} = (2 m + 1) x + 1$ 均为一次函数， $m$ 为常数．

（1）如图1，将直线 $AO$ 绕点 $A (- 1, 0)$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到直线 $l$ ，直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $B$ ．若直线 $l$ 恰好是 $y_{1} = x + 2 m - 1$ ， $y_{2} = (2 m + 1) x + 1$ 中某个函数的图象，请直接写出点 $B$ 坐标以及 $m$ 可能的值；

（2）若存在实数 $b$ ，使得 $| m | - (b - 1) \sqrt{1 - b} = 0$ 成立，求函数 $y_{1} = x + 2 m - 1$ ， $y_{2} = (2 m + 1) x + 1$ 图象间的距离；

（3）当 $m > 1$ 时，函数 $y_{1} = x + 2 m - 1$ 图象分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $C$ ， $E$ 两点， $y_{2} = (2 m + 1) x + 1$ 图象交 $x$ 轴于 $D$ 点，将函数 $y = y_{1} \cdot y_{2}$ 的图象最低点 $F$ 向上平移 $\frac{56}{2 m + 1}$ 个单位后刚好落在一次函数 $y_{1} = x + 2 m - 1$ 图象上．设 $y = y_{1} \cdot y_{2}$ 的图象，线段 $OD$ ，线段 $OE$ 围成的图形面积为 $S$ ，试利用初中知识，探究 $S$ 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到 $S$ 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01． $)$

菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $0 ° < ∠ ABO ⩽ 60 °$ ，点 $G$ 是射线 $OD$ 上一个动点，过点 $G$ 作 $GE / / DC$ 交射线 $OC$ 于点 $E$ ，以 $OE$ ， $OG$ 为邻边作矩形 $EOGF$ ．

（1）如图1，当点 $F$ 在线段 $DC$ 上时，求证： $DF = FC$ ；

（2）若延长 $AD$ 与边 $GF$ 交于点 $H$ ，将 $ΔGDH$ 沿直线 $AD$ 翻折 $180 °$ 得到 $ΔMDH$ ．

①如图2，当点 $M$ 在 $EG$ 上时，求证：四边形 $EOGF$ 为正方形；

②如图3，当 $\tan ∠ ABO$ 为定值 $m$ 时，设 $DG = k \cdot DO$ ， $k$ 为大于0的常数，当且仅当 $k > 2$ 时，点 $M$ 在矩形 $EOGF$ 的外部，求 $m$ 的值．