我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2011年全年每月-优题课

我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2011年全年每月的产量y（单位：万件）与月份x之间可以用一次函数表示，但由于“欧债危机”的影响，销售受困，为了不使货积压，老板只能是降低利润销售，原来每件可赚10元，从1月开始每月每件降低0.5元。试求：
（1）几月份的单月利润是108万元？
（2）单月最大利润是多少？是哪个月份？

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象经过 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 6)$ 三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点 $M$ 与对称轴 $l$ 上的点 $N$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $AN$ 交抛物线于点 $D$ ，直线 $BE$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，若直线 $BE$ 将 $ΔABD$ 的面积分为 $1 : 2$ 两部分，求点 $E$ 的坐标．

（3） $P$ 为抛物线上的一动点， $Q$ 为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $A$ 、 $D$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 为 $AB$ 边上的一点，以 $AD$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，过点 $C$ 作 $CG ⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $G$ ，交 $AE$ 于点 $H$ ，过点 $E$ 的弦 $EP$ 交 $AB$ 于点 $Q (EP$ 不是直径），点 $Q$ 为弦 $EP$ 的中点，连结 $BP$ ， $BP$ 恰好为 $⊙ O$ 的切线．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）求证： $\hat{EF} = \hat{ED}$ ．

（3）若 $\sin ∠ ABC = = \frac{3}{5}$ ， $AC = 15$ ，求四边形 $CHQE$ 的面积．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$ 的坐标为 $(0, 2)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，连结 $AB$ ，以 $AB$ 为边在第一象限内作正方形 $ABCD$ ，直线 $BD$ 交双曲线 $y = = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 于 $D$ 、 $E$ 两点，连结 $CE$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ ．

（1）求双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 和直线 $DE$ 的解析式．（2）求 $ΔDEC$ 的面积．

端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：

（1）本次参加抽样调查的居民有　　人．

（2）喜欢 $C$ 种口味粽子的人数所占圆心角为　　度．根据题中信息补全条形统计图．

（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃 $D$ 种粽子的有　　人．

（4）若有外型完全相同的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是 $A$ 种粽子的概率．

阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} (a_{1} \neq 0$ ， $a_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $c_{1}$ 是常数）与 $y = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} (a_{2} \neq 0$ ， $a_{2}$ 、 $b_{2}$ 、 $c_{2}$ 是常数）满足 $a_{1} + a_{2} = 0$ ， $b_{1} = b_{2}$ ， $c_{1} + c_{2} = 0$ ，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 的旋转函数，小明是这样思考的，由函数 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 可知， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = - 3$ ， $c_{1} = 1$ ，根据 $a_{1} + a_{2} = 0$ ， $b_{1} = b_{2}$ ， $c_{1} + c_{2} = 0$ ，求出 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的旋转函数．

（2）若函数 $y = 5 x^{2} + (m - 1) x + n$ 与 $y = - 5 x^{2} - nx - 3$ 互为旋转函数，求 ${(m + n)}^{2020}$ 的值．

（3）已知函数 $y = 2 (x - 1) (x + 3)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 关于原点的对称点分别是 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ，试求证：经过点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的二次函数与 $y = 2 (x - 1) (x + 3)$ 互为“旋转函数”．