为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了数形结合思想．具体方-优题课

为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，则问题即转化成求AC+CE的最小值．

（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时， AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于，此时；
（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AB$ 为直径，点 $P$ 为 $⊙ O$ 外一点，且 $PA = PC = \sqrt{2} AB$ ，连接 $PO$ 交 $AC$ 于点 $D$ ，延长 $PO$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）证明： $\hat{AF} = \hat{CF}$ ；

（2）若 $\tan ∠ ABC = 2 \sqrt{2}$ ，证明： $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）在（2）条件下，连接 $PB$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ，若 $BC = 2$ ，求 $DE$ 的长．

我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 $| x - 2 |$ 的几何意义是数轴上 $x$ 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为 $| x + 1 | = | x - (- 1) |$ ，所以 $| x + 1 |$ 的几何意义就是数轴上 $x$ 所对应的点与 $- 1$ 所对应的点之间的距离．

（1）发现问题：代数式 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值是多少？

（2）探究问题：如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 分别表示数 $- 1$ 、2、 $x$ ， $AB = 3$ ．

$∵ | x + 1 | + | x - 2 |$ 的几何意义是线段 $PA$ 与 $PB$ 的长度之和，

$∴$ 当点 $P$ 在线段 $AB$ 上时， $PA + PB = 3$ ，当点 $P$ 在点 $A$ 的左侧或点 $B$ 的右侧时， $PA + PB > 3$ ．

$∴ | x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值是3．

（3）解决问题：

① $| x - 4 | + | x + 2 |$ 的最小值是　　；

②利用上述思想方法解不等式： $| x + 3 | + | x - 1 | > 4$ ；

③当 $a$ 为何值时，代数式 $| x + a | + | x - 3 |$ 的最小值是2．

甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．

（1）以 $x$ （单位：元）表示商品原价， $y$ （单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？

某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“ $A$ ：文明礼仪， $B$ ：环境保护， $C$ ：卫生保洁， $D$ ：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．

（1）本次调查的学生人数是　　人， $m =$ 　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是　　；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是　　．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 边的延长线上，点 $F$ 在 $CD$ 边的延长线上，且 $CE = DF$ ，连接 $AE$ 和 $BF$ 相交于点 $M$ ．

求证： $AE = BF$ ．