先化简代数式，请你取一个的值，求出此时代数式的值．-优题课

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ，点 $G$ 在边 $BC$ 上，连接 $AG$ ，作 $DE ⊥ AG$ 于点 $E$ ， $BF ⊥ AG$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ 、 $DF$ ，设 $∠ EDF = α$ ， $∠ EBF = β$ ， $\frac{BG}{BC} = k$ ．

（1）求证： $AE = BF$ ；

（2）求证： $\tan α = k \cdot \tan β$ ；

（3）若点 $G$ 从点 $B$ 沿 $BC$ 边运动至点 $C$ 停止，求点 $E$ ， $F$ 所经过的路径与边 $AB$ 围成的图形的面积．

如图，在矩形 $OABC$ 中， $AB = 2$ ， $BC = 4$ ，点 $D$ 是边 $AB$ 的中点，反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $D$ ，交 $BC$ 边于点 $E$ ，直线 $DE$ 的解析式为 $y_{2} = mx + n (m \neq 0)$ ．

（1）求反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的解析式和直线 $DE$ 的解析式；

（2）在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使 $ΔPDE$ 的周长最小，求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下， $ΔPDE$ 的周长最小值是　　．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $CD$ 是直径， $∠ CBG = ∠ BAC$ ， $CD$ 与 $AB$ 相交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，过点 $O$ 作 $OH ⊥ AC$ ，垂足为 $H$ ，连接 $BD$ 、 $OA$ ．

（1）求证：直线 $BG$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）若 $\frac{BE}{OD} = \frac{5}{4}$ ，求 $\frac{EF}{AC}$ 的值．

为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年 $1 - 5$ 月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为： $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，并绘制如图两幅统计图，根据统计图提供的信息答案下列问题：

（1）　月份测试的学生人数最少，　　月份测试的学生中男生、女生人数相等；

（2）求扇形统计图中 $D$ 等级人数占5月份测试人数的百分比；

（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是 $A$ 等级的学生人数．

如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A$ ，点 $B$ ，点 $O$ 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．

（1）作点 $A$ 关于点 $O$ 的对称点 $A_{1}$ ；

（2）连接 $A_{1} B$ ，将线段 $A_{1} B$ 绕点 $A_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得点 $B$ 对应点 $B_{1}$ ，画出旋转后的线段 $A_{1} B_{1}$ ；

（3）连接 $A B_{1}$ ，求出四边形 $AB A_{1} B_{1}$ 的面积．