如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB-优题课

如图，点 $A$ 在以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $∠ ABC$ 的角平分线与 $AC$ 相交于点 $E$ ，与 $⊙ O$ 相交于点 $D$ ，延长 $CA$ 至 $M$ ，连结 $BM$ ，使得 $MB = ME$ ，过点 $A$ 作 $BM$ 的平行线与 $CD$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $BM$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）试给出 $AC$ 、 $AD$ 、 $CN$ 之间的数量关系，并予以证明．

为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．

（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；

（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．

我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点 $A$ 处时，在 $P$ 处测得 $A$ 点的仰角 $∠ DPA$ 为 $30 °$ 且 $A$ 与 $P$ 两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达 $B$ 处，此时在 $P$ 处测得 $B$ 点的仰角 $∠ DPB$ 为 $45 °$ ，求天舟二号从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．（结果精确到 $1 m / s$ ，取 $\sqrt{3} = 1.732$ ， $\sqrt{2} = 1.414)$

“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径．学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“ $A$ 文史类、 $B$ 科普类、 $C$ 生活类、 $D$ 其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：

统计表：

	频数	频率
$A$ 历史类	50	$m$
$B$ 科普类	90	0.45
$C$ 生活类	$n$	0.20
$D$ 其它	20	0.10
合计

（1）本次调查的学生共　　人；

（2） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（3）补全条形统计图．

先化简，再求值： $\frac{x - 3}{x - 1} \cdot (1 - \frac{2 x - 10}{x^{2} - 9})$ ，其中 $x$ 是1、2、3中的一个合适的数．