计算:-优题课

定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 $A (a, b)$ ， $B (c, d)$ ，若点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{a + c}{3}$ ， $y = \frac{b + d}{3}$ 那么称点 $T$ 是点 $A$ ， $B$ 的融合点．

例如： $A (- 1, 8)$ ， $B (4, - 2)$ ，当点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{- 1 + 4}{3} = 1$ ， $y = \frac{8 + (- 2)}{3} = 2$ 时，则点 $T (1, 2)$ 是点 $A$ ， $B$ 的融合点．

（1）已知点 $A (- 1, 5)$ ， $B (7, 7)$ ， $C (2, 4)$ ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．

（2）如图，点 $D (3, 0)$ ，点 $E (t, 2 t + 3)$ 是直线 $l$ 上任意一点，点 $T (x, y)$ 是点 $D$ ， $E$ 的融合点．

①试确定 $y$ 与 $x$ 的关系式．

②若直线 $ET$ 交 $x$ 轴于点 $H$ ．当 $ΔDTH$ 为直角三角形时，求点 $E$ 的坐标．

某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在 $170 ~ 240$ 元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数 $y$ （间 $)$ 与每间标准房的价格 $x$ （元 $)$ 的数据如下表：

$x$ （元 $)$	$\dots$	190	200	210	220	$\dots$
$y$ （间 $)$	$\dots$	65	60	55	50	$\dots$

（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．

（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（3）设客房的日营业额为 $w$ （元 $)$ ．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？

如图，在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AC$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $DE = \sqrt{3}$ ， $∠ C = 30 °$ ，求 $\hat{AD}$ 的长．

某校为积极响应“南孔圣地，衢州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动．其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程．为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．

（1）请问被随机抽取的学生共有多少名？并补全条形统计图．

（2）在扇形统计图中，求选择“礼行“课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数．

（3）若该校共有学生1200人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？

如图，在 $4 \times 4$ 的方格子中， $ΔABC$ 的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出线段 $CD$ ，使 $CD ⊥ CB$ ，其中 $D$ 是格点．

（2）在图2中画出平行四边形 $ABEC$ ，其中 $E$ 是格点．