已知，如图，△ABC为等边三角形，AECD，AD、BE相交于-优题课

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC > BC$ ， $D$ 是 $BC$ 上一点，连接 $AD$ ，作 $ΔADE$ ，使 $AD = AE$ ，且 $∠ DAE = ∠ BAC$ ，过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $AB$ 于 $F$ ，连接 $FC$ ．

（1）如图1．

①连接 $BE$ ，求证： $ΔAEB ≅ ΔADC :$

②若 $D$ 是线段 $BC$ 的中点，且 $AC = 6$ ， $BC = 4$ ，求 $CF$ 的长；

（2）如图2，若点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上，且四边形 $CDEF$ 是矩形，当 $AC = m$ ， $BC = n$ 时，求 $CD$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示）．

如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为 $AB$ 的宣传牌，点 $E$ 和点 $D$ 分别是教学楼底部和外墙上的一点 $(A$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上），小红同学在距 $E$ 点9米的 $C$ 处测得宣传牌底部点 $B$ 的仰角为 $67 °$ ，同时测得教学楼外墙外点 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，从点 $C$ 沿坡度为 $1 : \sqrt{3}$ 的斜坡向上走到点 $F$ 时， $DF$ 正好与水平线 $CE$ 平行．

（1）求点 $F$ 到直线 $CE$ 的距离（结果保留根号）；

（2）若在点 $F$ 处测得宣传牌顶部 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，求出宣传牌 $AB$ 的高度（结果精确到 $0.01)$ ．（注 $: \sin 67 ° \approx 0.92$ ， $\tan 67 ° \approx 2.36$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

四川省安岳县盛产柠檬和柚子两种水果，今年，某公司计划用两种型号的汽车运输柠檬和柚子到外地销售，运输中要求每辆汽车都要满载满运，且只能装运一种水果．若用3辆汽车装载柠檬、2辆汽车装载柚子可共装载33吨，若用2辆汽车装载柠檬、3辆汽车装载柚子可共装载32吨．

（1）求每辆汽车可装载柠檬或柚子各多少吨？

（2）据调查，全部销售完后，每吨柠檬可获利700元、每吨柚子可获利500元，计划用20辆汽车运输，且柚子不少于30吨，如何安排运输才能使公司获利最大，最大利润是多少元？

如图，一次函数 $y_{1} = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0, x < 0)$ 的图象交于点 $A (- 3, 1)$ 和点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $ΔAOB$ 的面积是6．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）当 $x < 0$ 时，比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．

如图， $AB$ 是半圆的直径， $AC$ 为弦，过点 $C$ 作直线 $DE$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ．若 $∠ ACD = 60 °$ ， $∠ E = 30 °$ ．

（1）求证：直线 $DE$ 与半圆相切；

（2）若 $BE = 3$ ，求 $CE$ 的长．