如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线
轴于点
，
动点
到直线
的距离是它到点
的距离的2倍．
（I）求点的轨迹方程；
（II）设点
为点的轨迹与
轴正半轴的交点，直线
交点的轨迹于
，
两点（，与点不重合），且满足
，动点
满足
，求直线
的斜率的取值范围．
函数
(
)的部分图像如右所示.
（1）求函数
的解析式；
（2）设
，且
，求
的值.
设等差数列
的公差
，等比数列
为公比为
，且
，
，
.
（1）求等比数列的公比的值；
（2）将数列，中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列
，是否存在正整数
（其中
）使得和
都构成等差数列？若存在，求出一组的值；若不存在，请说明理由.
已知定义在区间
上的函数
的图象关于直线
对称，当
时，函数
，其图象如图所示.
（Ⅰ）求函数在
的表达式；
（Ⅱ）求方程
的解；
（Ⅲ）是否存在常数
的值，使得
上恒成立；若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
某海边旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金
（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用
（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）.
（Ⅰ）求函数
的解析式及其定义域；
（Ⅱ）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
------①
------②
由①+② 得
------③
令
有
代入③得 
．
（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
;
（Ⅱ）若
的三个内角
满足
,试判断的形状．