先化简，再求值：-优题课

先化简，再求值：

科目数学题型解答题难度较易

设 $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ， $a ， b ， c ， d$ 都是有理数， $x$ 是无理数.求证：

（1）当 $bc = ad$ 时， $y$ 是有理数；

（2）当 $bc \neq ad$ 时， $y$ 是无理数.

设 $x ， y$ 都是有理数，且满足方程 $(\frac{1}{2} + \frac{π}{3}) x + (\frac{1}{3} + \frac{π}{2}) y - 4 - π = 0$ ，求 $x - y$ 的值.

已知实数 $\frac{5 + \sqrt{5}}{7}$ 的小数部分为 $a$ ， $\frac{7 - \sqrt{3}}{5}$ 的小数部分为 $b$ ，求 $7 a + 5 b$ 的值.

如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿 $AD$ 的方向平移，平移的距离为 $AE$ 的长，求阴影部分的面积（单位： $m$ ）.

（1）已知平面内有 $4$ 条直线 $a, b, c$ 和 $d$ .直线 $a, b$ 和 $c$ 相交于一点，直线 $b, c$ 和 $d$ 也相交于一点，试确定这 $4$ 条直线共有多少个交点?并说明你的理由.

（2）作第 $5$ 条直线 $e$ 与（1）中的直线 $d$ 平行，说明以这 $5$ 条直线的交点为端点的线段有多少条?