计算：-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $B (4, 0)$ ，与过 $A$ 点的直线相交于另一点 $D (3, \frac{5}{2})$ ，过点 $D$ 作 $DC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 在线段 $OC$ 上（不与点 $O$ 、 $C$ 重合），过 $P$ 作 $PN ⊥ x$ 轴，交直线 $AD$ 于 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ，连接 $CM$ ，求 $ΔPCM$ 面积的最大值；

（3）若 $P$ 是 $x$ 轴正半轴上的一动点，设 $OP$ 的长为 $t$ ，是否存在 $t$ ，使以点 $M$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

正方形 $ABCD$ 的边长为 $6 cm$ ，点 $E$ 、 $M$ 分别是线段 $BD$ 、 $AD$ 上的动点，连接 $AE$ 并延长，交边 $BC$ 于 $F$ ，过 $M$ 作 $MN ⊥ AF$ ，垂足为 $H$ ，交边 $AB$ 于点 $N$ ．

（1）如图1，若点 $M$ 与点 $D$ 重合，求证： $AF = MN$ ；

（2）如图2，若点 $M$ 从点 $D$ 出发，以 $1 cm / s$ 的速度沿 $DA$ 向点 $A$ 运动，同时点 $E$ 从点 $B$ 出发，以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度沿 $BD$ 向点 $D$ 运动，运动时间为 $ts$ ．

①设 $BF = ycm$ ，求 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式；

②当 $BN = 2 AN$ 时，连接 $FN$ ，求 $FN$ 的长．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $PB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ，连接 $PA$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $BC$ ．

（1）求证： $∠ BAC = ∠ CBP$ ；

（2）求证： $P B^{2} = PC \cdot PA$ ；

（3）当 $AC = 6$ ， $CP = 3$ 时，求 $\sin ∠ PAB$ 的值．

今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估，将抽取的各商业连锁店按照评估成绩分成了 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级，并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次评估随机抽取了多少家商业连锁店？

（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；

（3）从 $A$ 、 $B$ 两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是 $A$ 等级的概率．

如图，一次函数 $y = kx + b$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象在第一象限交于 $A$ 、 $B$ 两点， $B$ 点的坐标为 $(3, 2)$ ，连接 $OA$ 、 $OB$ ，过 $B$ 作 $BD ⊥ y$ 轴，垂足为 $D$ ，交 $OA$ 于 $C$ ，若 $OC = CA$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求 $ΔAOB$ 的面积．