如图，有多个长方形和正方形的卡片，图甲是选取了2块不同的卡片-优题课

如图，有多个长方形和正方形的卡片，图甲是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式成立.
（1）根据图乙，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式　　　　　　　　　　　　；
（2）试写出一个与（1）中代数恒等式类似的等式，并用上述拼图的方法说明它的正确性.

科目数学题型解答题难度中等

在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为 $AB$ 边上的一点，点 $F$ 为对角线 $BD$ 上的一点，且 $EF ⊥ AB$ ．

（1）若四边形 $ABCD$ 为正方形．

①如图1，请直接写出 $AE$ 与 $DF$ 的数量关系　 $DF = \sqrt{2} AE$ 　；

②将 $ΔEBF$ 绕点 $B$ 逆时针旋转到图2所示的位置，连接 $AE$ ， $DF$ ，猜想 $AE$ 与 $DF$ 的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形 $ABCD$ 为矩形， $BC = mAB$ ，其它条件都不变，将 $ΔEBF$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到△ $E^{'} B F^{'}$ ，连接 $A E^{'}$ ， $D F^{'}$ ，请在图3中画出草图，并直接写出 $A E^{'}$ 与 $D F^{'}$ 的数量关系．

夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务．为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．

（1）设第 $x$ 天生产空调 $y$ 台，直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第 $x$ 天的利润为 $W$ 元，试求 $W$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．

如图，点 $E$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，点 $C$ 是 $\hat{BE}$ 的中点，过点 $C$ 作 $CD$ 垂直于 $AE$ ，交 $AE$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\cos ∠ CAD = \frac{4}{5}$ ， $BF = 15$ ，求 $AC$ 的长．

如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东 $75 °$ 方向航行，在点 $A$ 处测得码头 $C$ 在船的东北方向，航行40分钟后到达 $B$ 处，这时码头 $C$ 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 $C$ 的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图 1 和图 2 两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）这四个班参与大赛的学生共　　人；

（2）请你补全两幅统计图；

（3）求图 1 中甲班所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若四个班级的学生总数是 160 人，全校共 2000 人，请你估计全校的学生中参与这次活动的大约有多少人．