已知：正方形的边长为1，射线与射线交于点，射线与射线交于点，-优题课

题文

已知：正方形的边长为1，射线与射线交于点，射线与射线交于点，．

（1）如图1，当点在线段上时，试猜想线段、、有怎样的数量关系？并证明你的猜想．
（2）设，，当点在线段上运动时（不包括点、），如图1，求关于的函数解析式，并指出的取值范围．
（3）当点在射线上运动时（不含端点），点在射线上运动.试判断以为圆心以为半径的和以为圆心以为半径的之间的位置关系.

（4）当点在延长线上时，设与交于点，如图2．问△与△能否相似，若能相似，求出的值，若不可能相似，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质

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如图，乙地是甲、丙两地的中点， $A$ 从甲地， $B$ 从丙地， $C, D$ 从乙地分别沿图示的方向同时出发.若 $A$ 出发后 $70 min$ 时遇到 $C, 84 min$ 时遇到 $B, 140 min$ 时追上 $D$ .求 $B$ 出发后多久遇到 $D$ ?多久追上 $C$ ?

解下列方程组

（1） $\{\begin{matrix} |x - 1| - |y| = 6, \\ |x - 1| = 2 y . \end{matrix}$

（2） $\{\begin{matrix} 2016 (x - y) + 2017 (y - z) + 2018 (z - x) = 0, \\ 2016^{2} (x - y) + 2017^{2} (y - z) + 2018^{2} (z - x) = 2017, \\ z + y = 1 . \end{matrix}$

$k, b$ 为何值时，方程组 $\{\begin{matrix} y = kx + b, & ① \\ y = (3 k - 1) x + 2, & ② \end{matrix}$

（1）有唯一一组解；

（2）无解；

（3）有无穷多组解.

如图，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分成 $10$ 个大小不同的正方形，请你计算：

（1）第 $3$ 个正方形的边长为＿＿＿＿＿；第 $5$ 个正方形的边长为＿＿＿＿＿；第 $10$ 个正方形的边长为＿＿＿＿＿.（用含 $x, y$ 的代数式表示）

（2）当 $x = 2$ 时，第 $9$ 个正方形的面积为＿＿＿＿＿.

（3）当 $x, y$ 均为正整数时，求这个完美长方形的最小周长.

如图，能否在图中的四个圆圈内填入 $4$ 个互不相同的数，使得任意两个圆圈中填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?如果能填，请填出一个例子；如果不能填，请说明理由.

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