如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯长，AB-优题课

已知函数 $f (x) = lnx + a x^{2} + (2 a + 1)$ x．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）当 $a ﹤ 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ．

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y = x^{2} + mx - 2$ 与x轴交于A，B两点，点C的坐标为 $(0, 1)$ .当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现 $AC ⊥ BC$ 的情况？说明理由；

（2）证明过 A， B， C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值.

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形， $AD = CD$ ．

（1）证明： $AC ⊥ BD$ ；

（2）已知△ACD是直角三角形， $AB = BD$ ．若E为棱BD上与D不重合的点，且 $AE ⊥ EC$ ，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	$[10 ， 15 ）$	$[15 ， 20 ）$	$[20 ， 25 ）$	$[25 ， 30 ）$	$[30 ， 35 ）$	$[35 ， 40 ）$
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$ （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出 $Y$ 的所有可能值，并估计 $Y$ 大于零的概率．

设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 2 n$ .

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\{\frac{a_{n}}{2_{n} + 1}\}$ 的前 $n$ 项和.