半圆的直径AB10，点C在半圆上，BC6(1)求弦AC的长，-优题课

某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内 $+$ 农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万 $kg$ 与3.6万 $kg$ ，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．

（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；

（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万 $kg$ ．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC = 5$ ， $BC = 6$ ，以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ 分别交于 $AC$ ， $BC$ 于点 $D$ ， $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线 $EF$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $ΔCDB$ 的中位线；

（2）求 $EF$ 的长．

某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为 $α$ ．

（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是　　；

（2）当 $α = 108 °$ 时，求成绩是60分的人数；

（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．

如图，已知等腰 $ΔABC$ 顶角 $∠ A = 36 °$ ．

（1）在 $AC$ 上作一点 $D$ ，使 $AD = BD$ （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；

（2）求证： $ΔBCD$ 是等腰三角形．

如果抛物线 $C_{1}$ 的顶点在拋物线 $C_{2}$ 上，抛物线 $C_{2}$ 的顶点也在拋物线 $C_{1}$ 上时，那么我们称抛物线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线 $C_{1} : y_{1} = \frac{1}{4} x^{2} + x$ 与 $C_{2} : y_{2} = a x^{2} + x + c$ 是“互为关联”的拋物线，点 $A$ ， $B$ 分别是抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的顶点，抛物线 $C_{2}$ 经过点 $D (6, - 1)$ ．

（1）直接写出 $A$ ， $B$ 的坐标和抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

（2）抛物线 $C_{2}$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $ΔABE$ 是直角三角形？如果存在，请求出点 $E$ 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点 $F (- 6, 3)$ 在抛物线 $C_{1}$ 上，点 $M$ ， $N$ 分别是抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点，且点 $M$ ， $N$ 的横坐标相同，记 $ΔAFM$ 面积为 $S_{1}$ （当点 $M$ 与点 $A$ ， $F$ 重合时 $S_{1} = 0)$ ， $ΔABN$ 的面积为 $S_{2}$ （当点 $N$ 与点 $A$ ， $B$ 重合时， $S_{2} = 0)$ ，令 $S = S_{1} + S_{2}$ ，观察图象，当 $y_{1} ⩽ y_{2}$ 时，写出 $x$ 的取值范围，并求出在此范围内 $S$ 的最大值．