已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等-优题课

题文

已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）若几何体的体积为，求实数的值；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）是否存在实数，使得二面角的平面角是，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：表面展开图

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已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ （ $a$ 为常数）的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $- 1$ .
（1）求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的极值；
（2）证明：当 $x > 0$ 时， $x^{2} < e^{x}$ ；

（3）证明：对任意给定的正数 $e$ ，总存在 $x_{0}$ ，使得当 $x \in (x_{0}, + \infty)$ 时，恒有 $x < c e^{x}$ .

已知曲线 $Γ$ 上的点到点 $F (0, 1)$ 的距离比它到直线 $y = - 3$ 的距离小 $2$ .
（1）求曲线 $Γ$ 的方程；
（2）曲线 $Γ$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ .直线 $y = 3$ 分别与直线 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M, N$ ，以 $M N$ 为直径作圆 $C$ ，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$ ，试探究：当点 $P$ 在曲线 $Γ$ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $A B$ 的长度是否发生变化？证明你的结论.

根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035-4085元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：

（1）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.

如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ 平面 B C D$ , $C D ⊥ B D$ .

（1）求证： $C D ⊥ 平面 A B D$ ；
（2）若 $A B = B D = C D = 1$ ， $M$ 为 $A D$ 中点，求三棱锥 $A - M B C$ 的体积.

已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sin x + \cos x)$ .
（1）求 $f (\frac{5 π}{4})$ 的值；
（2）求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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