已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．（1）求实-优题课

记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{n} > 0, a_{2} = 3 a_{1}$ ，且数列 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 是等差数列，证明： $\{a_{n}\}$ 是等差数列.

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

已知函数 $f (x) = |x - 2|, g (x) = |2 x + 3| - |2 x - 1|$ ．

（1）画出和 $y = g (x)$ 的图像；

（2）若 $f (x + a) \geq g (x)$ ，求a的取值范围．

在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} \cos θ$ ．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为 $(1, 0)$ ，M为C上的动点，点P满足 $\vec{AP} = \sqrt{2} \vec{AM}$ ，写出Р的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程，并判断C与 $C_{1}$ 是否有公共点．

已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \frac{x^{a}}{a^{x}} (x > 0)$ ．

（1）当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

（2）若曲线与直线 $y = 1$ 有且仅有两个交点，求 a的取值范围．