化简：-优题课

新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长 $t$ （单位：小时）的情况，在全市范围内随机抽取了 $n$ 名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是　　（填写“全面调查”或“抽样调查” $)$ ， $n =$ 　　；

（2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“ $3 ⩽ t < 4$ ”范围的概率是　　；

（3）若该市有15000名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“ $4 ⩽ t < 5$ ”范围的初中生有　　名．

某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？

计算：

（1） $| - 8 | \times 2^{- 1} - \sqrt{16} + {(- 1)}^{2020}$ ；

（2） $(a + 2) (a - 2) - a (a + 1)$ ．

将正方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $AB'$ ，记旋转角为 $α$ ，连接 $BB'$ ，过点 $D$ 作 $DE$ 垂直于直线 $BB'$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $DB'$ ， $CE$ ．

（1）如图1，当 $α = 60 °$ 时， $ΔDEB'$ 的形状为　　，连接 $BD$ ，可求出 $\frac{BB'}{CE}$ 的值为　　；

（2）当 $0 ° < α < 360 °$ 且 $α \neq 90 °$ 时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点 $B'$ ， $E$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 $\frac{BE}{B' E}$ 的值．

小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点 $D$ 是 $\hat{BC}$ 上一动点，线段 $BC = 8 cm$ ，点 $A$ 是线段 $BC$ 的中点，过点 $C$ 作 $CF / / BD$ ，交 $DA$ 的延长线于点 $F$ ．当 $ΔDCF$ 为等腰三角形时，求线段 $BD$ 的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：

（1）根据点 $D$ 在 $\hat{BC}$ 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 $BD$ ， $CD$ ， $FD$ 的长度，得到下表的几组对应值．

操作中发现：

①“当点 $D$ 为 $\hat{BC}$ 的中点时， $BD = 5.0 cm$ ”．则上表中 $a$ 的值是　5.0　；

②“线段 $CF$ 的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．

（2）将线段 $BD$ 的长度作为自变量 $x$ ， $CD$ 和 $FD$ 的长度都是 $x$ 的函数，分别记为 $y_{CD}$ 和 $y_{FD}$ ，并在平面直角坐标系 $xOy$ 中画出了函数 $y_{FD}$ 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数 $y_{CD}$ 的图象；

（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 $ΔDCF$ 为等腰三角形时，线段 $BD$ 长度的近似值（结果保留一位小数）．