化简：-优题课

如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B ＝ 90 °$ ， $C D ∥ A B$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，且 $C E ＝ A B$ ．求证： $△ C E D ≌ △ A B C$ ．

计算： $（ - 2022 ）^{0} + 6 \times （ - \frac{1}{2} ）$ $+ \sqrt{8} \div \sqrt{2}$ ．

如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A H$ 相切于点 $A$ ，点 $C$ 在 $A B$ 左侧圆弧上，弦 $C D ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连结 $A C ， A D$ ．点 $A$ 关于 $C D$ 的对称点为 $E$ ，直线 $C E$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，交 $A H$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $∠ C A G ＝ ∠ A G C$ ；

（2）当点 $E$ 在 $A B$ 上，连结 $A F$ 交 $C D$ 于点 $P$ ，若 $\frac{EF}{CE} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{DP}{CP}$ 的值；

（3）当点 $E$ 在射线 $A B$ 上， $A B ＝ 2$ ，以点 $A ， C ， O ， F$ 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求 $A E$ 的长．

如图，已知点 $M （ x_{1} ， y_{1} ）， N （ x_{2} ， y_{2} ）$ 在二次函数 $y ＝ a （ x ﹣ 2 ）^{2} ﹣ 1 （ a ＞ 0 ）$ 的图象上，且 $x_{2} ﹣ x_{1} ＝ 3$ ．

（1）若二次函数的图象经过点 $（ 3 ， 1 ）$ ．

①求这个二次函数的表达式；

②若 $y_{1} ＝ y_{2}$ ，求顶点到 $M N$ 的距离；

（2）当 $x_{1} \leq x \leq x_{2}$ 时，二次函数的最大值与最小值的差为 $1$ ，点 $M ， N$ 在对称轴的异侧，求 $a$ 的取值范围．

如图，将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，使点 $B$ 与点 $D$ 重合，点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $E F$ ．

（1）求证： $△ P D E ≌ △ C D F$ ；

（2）若 $C D ＝ 4 c m$ ， $E F ＝ 5 c m$ ，求 $B C$ 的长．