在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同-优题课

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n	1	2	3	4	5
成绩	70	76	72	70	72

（1）求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：随机思想的发展

如图，已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 px (p > 0)$ ，点 A是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 A的直线 l交椭圆 $C_{1}$ 于点 B，交抛物线 $C_{2}$ 于 M（ B， M不同于 A）．

（Ⅰ）若 $p = \frac{1}{16}$ ，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l使 M为线段 AB的中点，求 p的最大值．

已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}中， $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1, c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}, c_{n + 1} = \frac{b_{n}}{b_{n + 2}} \cdot c_{n} (n \in N^{*})$ ．

（Ⅰ）若数列{b_n}为等比数列，且公比 $q > 0$ ，且 $b_{1} + b_{2} = 6 b_{3}$ ，求q与a_n的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}为等差数列，且公差 $d > 0$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < 1 + \frac{1}{d}$ ．

如图，三棱台 DEF- ABC中，面 ADFC⊥面 ABC，∠ ACB=∠ ACD=45°， DC=2 BC．

（I）证明： EF⊥ DB；

（II）求 DF与面 DBC所成角的正弦值．

在锐角△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 $2 b \sin A = \sqrt{3} a$ ．

（I）求角 B；

（II）求cos A+cos B+cos C的取值范围．

已知 $\{a_{n}\}$ 是无穷数列．给出两个性质：

①对于 $\{a_{n}\}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j} (i > j)$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}} = a_{m}$ ；

②对于 $\{a_{n}\}$ 中任意项 $a_{n} (n ⩾ 3)$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l} (k > l)$ ．使得 $a_{n} = \frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．

(Ⅰ)若 $a_{n} = n (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $a_{n} = 2^{n - 1} (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： $\{a_{n}\}$ 为等比数列.

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