某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路-优题课

某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．

（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．
（2）小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．
（3）在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？

科目数学题型解答题难度较难

知识点：利用频率估计概率

如图，在平面直角坐标系中， $Rt Δ AOB$ 的斜边 $OA$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $∠ OBA = 90 °$ ，且 $\tan ∠ AOB = \frac{1}{2}$ ， $OB = 2 \sqrt{5}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $B$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若 $ΔAMB$ 与 $ΔAOB$ 关于直线 $AB$ 对称，一次函数 $y = mx + n$ 的图象过点 $M$ 、 $A$ ，求一次函数的表达式．

如图所示，在平面直角坐标系中， $⊙ C$ 经过坐标原点 $O$ ，且与 $x$ 轴， $y$ 轴分别相交于 $M (4, 0)$ ， $N (0, 3)$ 两点．已知抛物线开口向上，与 $⊙ C$ 交于 $N$ ， $H$ ， $P$ 三点， $P$ 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 $C$ 且垂直 $x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求线段 $CD$ 的长及顶点 $P$ 的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）设抛物线交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $S_{四边形OPMN} = 8 S_{ΔQAB}$ ，且 $ΔQAB ∽ ΔOBN$ 成立？若存在，请求出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

阅读材料：

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P (x_{0}$ ， $y_{0})$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式为： $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ ．

例如：求点 $P_{0} (0, 0)$ 到直线 $4 x + 3 y - 3 = 0$ 的距离．

解：由直线 $4 x + 3 y - 3 = 0$ 知， $A = 4$ ， $B = 3$ ， $C = - 3$ ，

$∴$ 点 $P_{0} (0, 0)$ 到直线 $4 x + 3 y - 3 = 0$ 的距离为 $d = \frac{| 4 \times 0 + 3 \times 0 - 3 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{5}$ ．

根据以上材料，解决下列问题：

问题 1 ：点 $P_{1} (3, 4)$ 到直线 $y = - \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$ 的距离为　　；

问题 2 ：已知： $⊙ C$ 是以点 $C (2, 1)$ 为圆心， 1 为半径的圆， $⊙ C$ 与直线 $y = - \frac{3}{4} x + b$ 相切，求实数 $b$ 的值；

问题 3 ：如图，设点 $P$ 为问题 2 中 $⊙ C$ 上的任意一点，点 $A$ ， $B$ 为直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 上的两点，且 $AB = 2$ ，请求出 $S_{ΔABP}$ 的最大值和最小值．

某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．

（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？

（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？

若 $n$ 是一个两位正整数，且 $n$ 的个位数字大于十位数字，则称 $n$ 为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．

（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；

（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．