2006年2月23日《南通日报》公布了2000年~2005年-优题课

　2006年2月23日《南通日报》公布了2000年~2005年南通市城市居民人均可支配收入情况（如图所示）

根据图示信息：
（1）求南通市城市居民人均可支配收入的中位数；
（2）哪些年份南通市城市居民人均可支配收入比上一年增加了1000元以上？
（3）如果从2006年开始，南通市城市居民人均可支配收入每一年比上一年增加a 元，那么到2008年底可达到18000元，求a的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：统计量的选择

“垃圾不落地，城市更美丽”．某中学为了了解七年级学生对这一倡议的落实情况，学校安排政教处在七年级学生中随机抽取了部分学生，并针对学生“是否随手丢垃圾”这一情况进行了问卷调查，统计结果为： $A$ 为从不随手丢垃圾； $B$ 为偶尔随手丢垃圾； $C$ 为经常随手丢垃圾三项．要求每位被调查的学生必须从以上三项中选一项且只能选一项，现将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请你根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；

（2）所抽取学生“是否随手丢垃圾”情况的众数是　　；

（3）若该校七年级共有1500名学生，请你估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有多少人？谈谈你的看法？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AD$ 是 $BC$ 边上的高．请用尺规作图法在高 $AD$ 上求作一点 $P$ ，使得点 $P$ 到 $AB$ 的距离等于 $PD$ 的长．（保留作图痕迹，不写作法）

问题提出

（1）如图①，已知 $ΔABC$ ，请画出 $ΔABC$ 关于直线 $AC$ 对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $AD = 6$ ， $AE = 4$ ， $AF = 2$ ，是否在边 $BC$ 、 $CD$ 上分别存在点 $G$ 、 $H$ ，使得四边形 $EFGH$ 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）如图③，有一矩形板材 $ABCD$ ， $AB = 3$ 米， $AD = 6$ 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形 $EFGH$ 部件，使 $∠ EFG = 90 °$ ， $EF = FG = \sqrt{5}$ 米， $∠ EHG = 45 °$ ，经研究，只有当点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别在边 $AD$ 、 $AB$ 、 $BC$ 上，且 $AF < BF$ ，并满足点 $H$ 在矩形 $ABCD$ 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 $EFGH$ 部件？若能，求出裁得的四边形 $EFGH$ 部件的面积；若不能，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 5$ 经过点 $M (1, 3)$ 和 $N (3, 5)$

（1）试判断该抛物线与 $x$ 轴交点的情况；

（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 $A (- 2, 0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $B$ ，同时满足以 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．

如图，已知： $AB$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点 $B$ 作 $BC ⊥ AB$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $D$ ，取 $AD$ 的中点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $AF$ 并延长交 $BC$ 的延长线于点 $G$ ．

求证：

（1） $FC = FG$ ；

（2） $A B^{2} = BC \cdot BG$ ．