计算（1）（2）（3）1（）（）（4）-优题课

若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 $y = \{\begin{matrix} - \frac{2}{x} (x ⩽ - 1) \\ | x - 1 | (x > - 1) \end{matrix}$ 的图象与性质．列表：

$x$	$\dots$	$- 3$	$- \frac{5}{2}$	$- 2$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{5}$	1	$\frac{4}{3}$	2	$\frac{3}{2}$	1	$\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以相应的函数值 $y$ 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点 $A (- 5, y_{1})$ ， $B (- \frac{7}{2}$ ， $y_{2})$ ， $C (x_{1}$ ， $\frac{5}{2})$ ， $D (x_{2}$ ， $6)$ 在函数图象上，则 $y_{1}$ 　　 $y_{2}$ ， $x_{1}$ 　　 $x_{2}$ ；（填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ” $)$

②当函数值 $y = 2$ 时，求自变量 $x$ 的值；

③在直线 $x = - 1$ 的右侧的函数图象上有两个不同的点 $P (x_{3}$ ， $y_{3})$ ， $Q (x_{4}$ ， $y_{4})$ ，且 $y_{3} = y_{4}$ ，求 $x_{3} + x_{4}$ 的值；

④若直线 $y = a$ 与函数图象有三个不同的交点，求 $a$ 的取值范围．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $CD$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ，且 $AD / / OC$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）延长 $CO$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．若 $∠ CEB = 30 °$ ， $⊙ O$ 的半径为2，求 $\hat{BD}$ 的长．（结果保留 $π)$

某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批 $A$ ， $B$ 两种型号的机器．已知一台 $A$ 型机器比一台 $B$ 型机器每小时多加工2个零件，且一台 $A$ 型机器加工80个零件与一台 $B$ 型机器加工60个零件所用时间相等．

（1）每台 $A$ ， $B$ 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？

（2）如果该企业计划安排 $A$ ， $B$ 两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么 $A$ ， $B$ 两种型号的机器可以各安排多少台？

如图所示，巡逻船在 $A$ 处测得灯塔 $C$ 在北偏东 $45 °$ 方向上，距离 $A$ 处 $30 km$ ．在灯塔 $C$ 的正南方向 $B$ 处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知 $B$ 处在 $A$ 处的北偏东 $60 °$ 方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？

（精确到 $0.01 km$ ．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449)$

我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．我市有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　　人， $m =$ 　　，并补全条形统计图；

（2）若该小区有居民1200人，试估计去 $B$ 地旅游的居民约有多少人？

（3）小军同学已去过 $E$ 地旅游，暑假期间计划与父母从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个景区中，任选两个去旅游，求选到 $A$ ， $C$ 两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）