已知∠α,用两种不同的方法,画出∠α的余角∠β和∠α的补角∠-优题课

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 2 cm$ ， $∠ ADB = 30 °$ ． $P$ ， $Q$ 两点分别从 $A$ ， $B$ 同时出发，点 $P$ 沿折线 $AB - BC$ 运动，在 $AB$ 上的速度是 $2 cm / s$ ，在 $BC$ 上的速度是 $2 \sqrt{3} cm / s$ ；点 $Q$ 在 $BD$ 上以 $2 cm / s$ 的速度向终点 $D$ 运动，过点 $P$ 作 $PN ⊥ AD$ ，垂足为点 $N$ ．连接 $PQ$ ，以 $PQ$ ， $PN$ 为邻边作 $▱ PQMN$ ．设运动的时间为 $x (s)$ ， $▱ PQMN$ 与矩形 $ABCD$ 重叠部分的图形面积为 $y (c m^{2})$

（1）当 $PQ ⊥ AB$ 时， $x =$ 　　；

（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

（3）直线 $AM$ 将矩形 $ABCD$ 的面积分成 $1 : 3$ 两部分时，直接写出 $x$ 的值．

如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，过 $AB$ 上一点 $D$ 作 $DE / / AC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，以 $E$ 为顶点， $ED$ 为一边，作 $∠ DEF = ∠ A$ ，另一边 $EF$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证：四边形 $ADEF$ 为平行四边形；

（2）当点 $D$ 为 $AB$ 中点时， $▱ ADEF$ 的形状为　　；

（3）延长图①中的 $DE$ 到点 $G$ ，使 $EG = DE$ ，连接 $AE$ ， $AG$ ， $FG$ ，得到图②，若 $AD = AG$ ，判断四边形 $AEGF$ 的形状，并说明理由．

小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用 $30 \min$ ．小东骑自行车以 $300 m / \min$ 的速度直接回家，两人离家的路程 $y (m)$ 与各自离开出发地的时间 $x (\min)$ 之间的函数图象如图所示

（1）家与图书馆之间的路程为　　 $m$ ，小玲步行的速度为　　 $m / \min$ ；

（2）求小东离家的路程 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求两人相遇的时间．

为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为 $400 g$ 奶粉的情况，质检员进行了抽样调查，过程如下，请补全表一、表二中的空白，并回答提出的问题．

收集数据：

从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10袋，测得实际质量（单位： $g)$ 如下：

甲：400，400，408，406，410，409，400，393，394，395

乙：403，404，396，399，402，402，405，397，402，398

整理数据：

表一

质量 $(g)$

频数

种类

$393 ⩽ x < 396$

$396 ⩽ x < 399$

$399 ⩽ x < 402$

$402 ⩽ x < 405$

$405 ⩽ x < 408$

$408 ⩽ x < 411$

甲

3

0

　3　

0

1

3

乙

0

1

5

0

分析数据：

表二

种类	平均数	中位数	众数	方差
甲	401.5		400	36.85
乙	400.8	402		8.56

得出结论：

包装机分装情况比较好的是　　（填甲或乙），说明你的理由．

数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含 $a$ ， $b$ ， $α$ 的代数式表示旗杆 $AB$ 的高度．

数学活动方案

活动时间：2018年4月2日活动地点：学校操场填表人：林平

课题	测量学校旗杆的高度
活动目的	运用所学数学知识及方法解决实际问题
方案示意图		测量步骤	（1）用　测角仪　测得 $∠ ADE = α$ ；（2）用　　测得 $BC = a$ 米， $CD = b$ 米．
计算过程