夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系-优题课

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴分别交于 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）点 $F$ 是线段 $AD$ 上一个动点．

①如图1，设 $k = \frac{AF}{AD}$ ，当 $k$ 为何值时， $CF = \frac{1}{2} AD$ ？

②如图2，以 $A$ ， $F$ ， $O$ 为顶点的三角形是否与 $ΔABC$ 相似？若相似，求出点 $F$ 的坐标；若不相似，请说明理由．

如图1，矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为 $AB$ 边上的动点（不与 $A$ ， $B$ 重合），把 $ΔADE$ 沿 $DE$ 翻折，点 $A$ 的对应点为 $A_{1}$ ，延长 $E A_{1}$ 交直线 $DC$ 于点 $F$ ，再把 $∠ BEF$ 折叠，使点 $B$ 的对应点 $B_{1}$ 落在 $EF$ 上，折痕 $EH$ 交直线 $BC$ 于点 $H$ ．

（1）求证：△ $A_{1} DE ∽$ △ $B_{1} EH$ ；

（2）如图2，直线 $MN$ 是矩形 $ABCD$ 的对称轴，若点 $A_{1}$ 恰好落在直线 $MN$ 上，试判断 $ΔDEF$ 的形状，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，点 $G$ 为 $ΔDEF$ 内一点，且 $∠ DGF = 150 °$ ，试探究 $DG$ ， $EG$ ， $FG$ 的数量关系．

若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 $y = \{\begin{matrix} - \frac{2}{x} (x ⩽ - 1) \\ | x - 1 | (x > - 1) \end{matrix}$ 的图象与性质．列表：

$x$	$\dots$	$- 3$	$- \frac{5}{2}$	$- 2$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{5}$	1	$\frac{4}{3}$	2	$\frac{3}{2}$	1	$\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以相应的函数值 $y$ 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点 $A (- 5, y_{1})$ ， $B (- \frac{7}{2}$ ， $y_{2})$ ， $C (x_{1}$ ， $\frac{5}{2})$ ， $D (x_{2}$ ， $6)$ 在函数图象上，则 $y_{1}$ 　　 $y_{2}$ ， $x_{1}$ 　　 $x_{2}$ ；（填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ” $)$

②当函数值 $y = 2$ 时，求自变量 $x$ 的值；

③在直线 $x = - 1$ 的右侧的函数图象上有两个不同的点 $P (x_{3}$ ， $y_{3})$ ， $Q (x_{4}$ ， $y_{4})$ ，且 $y_{3} = y_{4}$ ，求 $x_{3} + x_{4}$ 的值；

④若直线 $y = a$ 与函数图象有三个不同的交点，求 $a$ 的取值范围．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $CD$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ，且 $AD / / OC$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）延长 $CO$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．若 $∠ CEB = 30 °$ ， $⊙ O$ 的半径为2，求 $\hat{BD}$ 的长．（结果保留 $π)$

某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批 $A$ ， $B$ 两种型号的机器．已知一台 $A$ 型机器比一台 $B$ 型机器每小时多加工2个零件，且一台 $A$ 型机器加工80个零件与一台 $B$ 型机器加工60个零件所用时间相等．

（1）每台 $A$ ， $B$ 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？

（2）如果该企业计划安排 $A$ ， $B$ 两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么 $A$ ， $B$ 两种型号的机器可以各安排多少台？