为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进： 把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本
（万元）与处理量
（吨）之间的函数关系可近似地表示为：
， 且每处理一吨二氧化碳可得价值为
万元的某种化工产品.
(Ⅰ)当
时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
（Ⅱ） 当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.
如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.
(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．
(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：①
②
③
求点G的横坐标的取值范围．
甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数
，
，及任意的
，当甲公司投入
万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于
万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于
万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：
(1)请解释
；
(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？
(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入
万元，乙在上述策略下，投入最少费用
；而甲根据乙的情况，调整宣传费为
；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为
如此得当甲调整宣传费为
时，乙调整宣传费为
；试问是否存在
，
的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.
直线
过曲线
上一点
，斜率为
，且与x轴交于点
，其中
⑴试用
表示
；
⑵证明：
；
⑶若
对
恒成立，求实数a的取值范围。
已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
。
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式
的解集。
已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1.
(1)若直线AP的斜率为k,且|k|∈［
,
］,求实数m的取值范围;
(2)当m=
+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.