某公司生产一种电了仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中
是仪器的月产量。
⑴将利润表示为月产量的函数
。
⑵当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益―总成本＝利润）
（本小题满分12分）已知向量
，
，函数
．
（1）求函数
的最大值，并写出相应
的取值集合；
（2）若
，且
，求
的值．
已知函数
，其中
（Ⅰ）若
，试判断函数
的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）设函数
，若对任意的
，总存在唯一的实数
，使得
成立，试确定实数
的取值范围.
若数列
满足：对于
，都有
（
为常数），则称数列是公差为
的“隔项等差”数列．
（Ⅰ）若
，
是公差为8的“隔项等差”数列，求的前
项之和；
（Ⅱ）设数列
满足：
，对于，都有
．
①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；
②设数列的前
项和为
，试研究：是否存在实数
，使得
成等比数列（
）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
已知圆
：
，点
是直线
：
上的一动点，过点作圆M的切线
、
，切点为
、
．
（Ⅰ）当切线PA的长度为
时，求点的坐标；
（Ⅱ）若
的外接圆为圆
，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段
长度的最小值．
某小区想利用一矩形空地
建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中
，
，且
中，
，经测量得到
．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点
作一条直线交
于
，从而得到五边形
的市民健身广场．
（Ⅰ）假设
，试将五边形的面积
表示为
的函数，并注明函数的定义域；
（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．