解方程：．-优题课

服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价 $y$ （元 $/$ 件）与批发数量 $x$ （件 $) (x$ 为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间所满足的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）设服装厂所获利润为 $w$ （元 $)$ ，若 $10 ⩽ x ⩽ 50 (x$ 为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？

如图为某景区五个景点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的平面示意图， $B$ ， $A$ 在 $C$ 的正东方向， $D$ 在 $C$ 的正北方向， $D$ ， $E$ 在 $B$ 的北偏西 $30 °$ 方向上， $E$ 在 $A$ 的西北方向上， $C$ ， $D$ 相距 $1000 \sqrt{3} m$ ， $E$ 在 $BD$ 的中点处．

（1）求景点 $B$ ， $E$ 之间的距离；

（2）求景点 $B$ ， $A$ 之间的距离．（结果保留根号）

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $BA = BC$ ， $BD$ 平分 $∠ ABC$ ．

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

（2）过点 $D$ 作 $DE ⊥ BD$ ，交 $BC$ 的延长线于点 $E$ ，若 $BC = 5$ ， $BD = 8$ ，求四边形 $ABED$ 的周长．

某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式： $A$ ．器乐， $B$ ．舞蹈， $C$ ．朗诵， $D$ ．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　　人；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？

（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，顶点为 $P (- 1, - 4)$ ， $PB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接 $AC$ ，在 $x$ 轴下方的抛物线上存在点 $N$ ， $BN$ 与 $AC$ 的交点 $F$ 平分 $BN$ ，求点 $F$ 的坐标；

（3）将线段 $BP$ 和 $BA$ 绕点 $B$ 同时顺时针旋转相同的角度，得到线段 $BE$ ， $BD$ ，直线 $PE$ ， $AD$ 相交于点 $M$ ．

①如图2，设 $PE$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ，线段 $BE$ 与 $AD$ 交于点 $G$ ，求 $\frac{BG}{BH}$ 的值；

②连接 $OM$ ， $OM$ 的长随线段 $BP$ ， $BA$ 的旋转而发生变化，请直接写出线段 $OM$ 长度的取值范围．