已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为
，最小值为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线
与椭圆相交于
两点（不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．
（本小题13分）
设等比数列
的前项和为
，首项
，公比
．
（I）证明：
；
（II）若数列
满足
，
，求数列的通项公式；
（III）记
，
，数列
的前项和为
，求证：当
时，
．
（本小题12分）
为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ用户推出了多款QQ应用，如“QQ农场”、“QQ音乐”、“QQ读书”等．市场调查表明，QQ用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为
，
，
．现有甲、乙、丙三位QQ用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．
（I）求三人所选择的应用互不相同的概率；
（II）记
为三人中选择的应用是QQ农场与QQ音乐的人数，求的分布列与数学期望．
（本小题12分）
如图，在三棱锥
中，侧面
、
是全等的直角三角形，
是公共的斜边，且
，
，另一个侧面是正三角形．
（I）求证：
；
（II）求二面角
的余弦值；
（III）在直线
是否存在一点
，使直线
与面
成
角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
（本小题12分）
在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数
可近似地用函数
来刻画．其中：正整数
表示月份且
，例如
时表示1月份；
和
是正整数；
．
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（I）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；
（II）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．
已知函数f(x)＝
·
，其中＝(sinωx＋cosωx,
cosωx),＝cosωx－sinωx,2sinωx)(ω＞0)，若f(x)相邻的对称轴之间的距离不小于
.
(1)求ω的取值范围；
(2)在△ABC中，a,b,c分别为A,B,C的对边，a＝,b+c＝3，当ω最大时，
f(A)＝1，求△ABC的面积.