如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点-优题课

如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为（）．

（1）把向左平移8格后得到，画出的图形并写出点的坐标；
（2）把绕点按顺时针方向旋转后得到，画出的图形并写出点的坐标；
（3）把以点为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，画出的图形．

科目数学题型解答题难度中等

小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点 $A$ 处测得汽车前端 $F$ 的俯角为 $α$ ，且 $\tan α = \frac{1}{3}$ ，若直线 $AF$ 与地面 $l_{1}$ 相交于点 $B$ ，点 $A$ 到地面 $l_{1}$ 的垂线段 $AC$ 的长度为1.6米，假设眼睛 $A$ 处的水平线 $l_{2}$ 与地面 $l_{1}$ 平行．

（1）求 $BC$ 的长度；

（2）假如障碍物上的点 $M$ 正好位于线段 $BC$ 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段 $MN$ 为此长方形前端的边）， $MN ⊥ l_{1}$ ，若小强的爸爸将汽车沿直线 $l_{1}$ 后退0.6米，通过汽车的前端 $F_{1}$ 点恰好看见障碍物的顶部 $N$ 点（点 $D$ 为点 $A$ 的对应点，点 $F_{1}$ 为点 $F$ 的对应点），求障碍物的高度．

先化简，再求值： $\frac{a^{2} - a}{{(a - 1)}^{2}} - \frac{a + 1}{a}$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ．

计算： $| - \sqrt{3} | + π^{0} - 2 \cos 30 °$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + 6 ax (a$ 为常数， $a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $O$ ， $A$ 两点，点 $B$ 为抛物线的顶点，点 $D$ 的坐标为 $(t$ ， $0) (- 3 < t < 0)$ ，连接 $BD$ 并延长与过 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点的 $⊙ P$ 相交于点 $C$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标；

（2）过点 $C$ 作 $⊙ P$ 的切线 $CE$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ．

①如图1，求证： $CE = DE$ ；

②如图2，连接 $AC$ ， $BE$ ， $BO$ ，当 $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $∠ CAE = ∠ OBE$ 时，求 $\frac{1}{OD} - \frac{1}{OE}$ 的值．

已知抛物线 $y = - 2 x^{2} + (b - 2) x + (c - 2020) (b$ ， $c$ 为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为 $(1, 1)$ ，求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 $c$ 的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数 $m$ ， $n (m < n)$ ，当 $m ⩽ x ⩽ n$ 时，恰好 $\frac{m}{2 m + 1} ⩽ \frac{1}{y + 2} ⩽ \frac{n}{2 n + 1}$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

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