如图1，抛物线y＝nx2－11nx＋24n(n＜0)与x轴交-优题课

如图1，抛物线y＝nx²－11nx＋24n (n＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．

（1）填空：点B的坐标为（_ ），点C的坐标为（_ ）；
（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．
①求此时抛物线的解析式；
②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

计算： ${(- 1)}^{2019} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + | \sqrt{3} - 2 | + 3 \tan 30 °$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (- 3, 0)$ ，且 $OB = OC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在抛物线上，且 $∠ POB = ∠ ACB$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线上两点 $M$ ， $N$ ，点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，点 $N$ 的横坐标为 $m + 4$ ．点 $D$ 是抛物线上 $M$ ， $N$ 之间的动点，过点 $D$ 作 $y$ 轴的平行线交 $MN$ 于点 $E$ ．

①求 $DE$ 的最大值；

②点 $D$ 关于点 $E$ 的对称点为 $F$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $MDNF$ 为矩形．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AB$ 边上一点，以 $DE$ 为边作正方形 $DEFG$ ， $DF$ 与 $BC$ 交于点 $M$ ，延长 $EM$ 交 $GF$ 于点 $H$ ， $EF$ 与 $CB$ 交于点 $N$ ，连接 $CG$ ．

（1）求证： $CD ⊥ CG$ ；

（2）若 $\tan ∠ MEN = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{MN}{EM}$ 的值；

（3）已知正方形 $ABCD$ 的边长为1，点 $E$ 在运动过程中， $EM$ 的长能否为 $\frac{1}{2}$ ？请说明理由．

在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．

（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？

（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？

如图，在 $ΔABC$ 中，以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，连接 $CD$ ， $∠ BCD = ∠ A$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 5$ ， $BD = 3$ ，求点 $O$ 到 $CD$ 的距离．

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