如图，直线y1kxb过点A(0，2)，且与直线y2mx交于点-优题课

如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 6$ 与抛物线 $y_{1} = - x^{2} + \frac{1}{2} tx + t - 2$ 相交 $y$ 轴于点 $C$ ，抛物线 $y_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 的右侧），直线 $y_{2} = kx + 3$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $N$ ，交 $y$ 轴于点 $M$ ，且 $OC = ON$ ．

（1）求抛物线 $y_{1}$ 的解析式与 $k$ 的值；

（2）抛物线 $y_{1}$ 的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，连接 $AC$ ，在 $x$ 轴上方的对称轴上找一点 $E$ ，使以点 $A$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔAOC$ 相似，求出 $DE$ 的长；

（3）如图2，过抛物线 $y_{1}$ 上的动点 $G$ 作 $GH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，交直线 $y_{2} = kx + 3$ 于点 $Q$ ，若点 $Q^{'}$ 是点 $Q$ 关于直线 $MG$ 的对称点，是否存在点 $G$ （不与点 $C$ 重合），使点 $Q^{'}$ 落在 $y$ 轴上？若存在，请直接写出点 $G$ 的横坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ，点 $G$ 在边 $BC$ 上，连接 $AG$ ，作 $DE ⊥ AG$ 于点 $E$ ， $BF ⊥ AG$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ 、 $DF$ ，设 $∠ EDF = α$ ， $∠ EBF = β$ ， $\frac{BG}{BC} = k$ ．

（1）求证： $AE = BF$ ；

（2）求证： $\tan α = k \cdot \tan β$ ；

（3）若点 $G$ 从点 $B$ 沿 $BC$ 边运动至点 $C$ 停止，求点 $E$ ， $F$ 所经过的路径与边 $AB$ 围成的图形的面积．

如图，在矩形 $OABC$ 中， $AB = 2$ ， $BC = 4$ ，点 $D$ 是边 $AB$ 的中点，反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $D$ ，交 $BC$ 边于点 $E$ ，直线 $DE$ 的解析式为 $y_{2} = mx + n (m \neq 0)$ ．

（1）求反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的解析式和直线 $DE$ 的解析式；

（2）在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使 $ΔPDE$ 的周长最小，求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下， $ΔPDE$ 的周长最小值是　　．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $CD$ 是直径， $∠ CBG = ∠ BAC$ ， $CD$ 与 $AB$ 相交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，过点 $O$ 作 $OH ⊥ AC$ ，垂足为 $H$ ，连接 $BD$ 、 $OA$ ．

（1）求证：直线 $BG$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）若 $\frac{BE}{OD} = \frac{5}{4}$ ，求 $\frac{EF}{AC}$ 的值．

为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年 $1 - 5$ 月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为： $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，并绘制如图两幅统计图，根据统计图提供的信息答案下列问题：

（1）　月份测试的学生人数最少，　　月份测试的学生中男生、女生人数相等；

（2）求扇形统计图中 $D$ 等级人数占5月份测试人数的百分比；

（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是 $A$ 等级的学生人数．