已知：有理数m所表示的点与1表示的点距离4个单位，互为相反数-优题课

“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台 $A$ 型设备日处理能力为12吨；每台 $B$ 型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．

（1）请你为该景区设计购买 $A$ 、 $B$ 两种设备的方案；

（2）已知每台 $A$ 型设备价格为3万元，每台 $B$ 型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？

如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼 $BC$ 高达 $452 m$ ，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼 $DE$ 高 $340 m$ ，为了测量高楼 $BC$ 上发射塔 $AB$ 的高度，在楼 $DE$ 底端 $D$ 点测得 $A$ 的仰角为 $α$ ， $\sin α = \frac{24}{25}$ ，在顶端 $E$ 点测得 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，求发射塔 $AB$ 的高度．

为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求样本容量；

（2）补全条形图，并填空： $n =$ 　；

（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为 $A$ 级的人数为多少？

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线 $AC$ 的解析式；

（2）请在 $y$ 轴上找一点 $M$ ，使 $ΔBDM$ 的周长最小，求出点 $M$ 的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点 $P$ ，使以点 $A$ ， $P$ ， $C$ 为顶点， $AC$ 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ，点 $E$ 为 $CD$ 边上一点， $AE$ 与 $BE$ 分别为 $∠ DAB$ 和 $∠ CBA$ 的平分线．

（1）请你添加一个适当的条件　　，使得四边形 $ABCD$ 是平行四边形，并证明你的结论；

（2）作线段 $AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $O$ ，并以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（3）在（2）的条件下， $⊙ O$ 交边 $AD$ 于点 $F$ ，连接 $BF$ ，交 $AE$ 于点 $G$ ，若 $AE = 4$ ， $\sin ∠ AGF = \frac{4}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．