判断下列方程的解是正数、负数、还是0：（1）4x

先化简，再求值： $(a - \frac{a^{2}}{a + 1}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = 2 \cos 60 ° + 1$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于原点 $O$ 和点 $A$ ，且其顶点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标为 $(2, 1)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点 $F$ ，使得抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 上的任意一点 $G$ 到定点 $F$ 的距离与点 $G$ 到直线 $y = - 2$ 的距离总相等．

①证明上述结论并求出点 $F$ 的坐标；

②过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

证明：当直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时， $\frac{1}{MF} + \frac{1}{NF}$ 是定值，并求出该定值；

（3）点 $C (3, m)$ 是该抛物线上的一点，在 $x$ 轴， $y$ 轴上分别找点 $P$ ， $Q$ ，使四边形 $PQBC$ 周长最小，直接写出 $P$ ， $Q$ 的坐标．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径． $BC$ 是 $⊙ O$ 的弦，弦 $ED$ 垂直 $AB$ 于点 $F$ ，交 $BC$ 于点 $G$ ．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $ED$ 的延长线于点 $P$

（1）求证： $PC = PG$ ；

（2）判断 $P G^{2} = PD \cdot PE$ 是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若 $G$ 为 $BC$ 中点， $OG = \sqrt{5}$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $DE$ 的长．

如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与 $y$ 轴的正半轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象交于 $P$ ， $D$ 两点．以 $AD$ 为边作正方形 $ABCD$ ，点 $B$ 落在 $x$ 轴的负半轴上，已知 $ΔBOD$ 的面积与 $ΔAOB$ 的面积之比为 $1 : 4$ ．

（1）求一次函数 $y = kx + b$ 的表达式；

（2）求点 $P$ 的坐标及 $ΔCPD$ 外接圆半径的长．

某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：

甲：92，95，96，88，92，98，99，100

乙：100，87，92，93，9■，95，97，98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，

（1）求甲成绩的平均数和中位数；

（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；

（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．