小华和小明在一起做叠纸游戏，小华需要两张面积分别为3平方分米-优题课

小华和小明在一起做叠纸游戏，小华需要两张面积分别为3平方分米和9平方分米的正方形纸片，小明需要两张面积分别为4平方分米和5平方分米的纸片，他们两人手中都有一张足够大的纸片，很快他们两人各自做出了其中的一张，而另一张却一下子被难住了.

（1）他们各自很快做出了哪一张，是如何做出来的？
（2）另两个正方形该如何做，你能帮帮他们吗？
（3）这几个正方形的边长是有理数还是无理数？

科目数学题型解答题难度中等

（1）发现：如图1，点 $A$ 为线段 $BC$ 外一动点，且 $BC = a$ ， $AB = b$ ．

填空：当点 $A$ 位于　　时，线段 $AC$ 的长取得最大值，且最大值为　　（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）

（2）应用：点 $A$ 为线段 $BC$ 外一动点，且 $BC = 3$ ， $AB = 1$ ，如图2所示，分别以 $AB$ ， $AC$ 为边，作等边三角形 $ABD$ 和等边三角形 $ACE$ ，连接 $CD$ ， $BE$ ．

①请找出图中与 $BE$ 相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段 $BE$ 长的最大值．

（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，点 $P$ 为线段 $AB$ 外一动点，且 $PA = 2$ ， $PM = PB$ ， $∠ BPM = 90 °$ ，请直接写出线段 $AM$ 长的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

某班"数学兴趣小组"对函数 $y = x^{2} - 2 | x |$ 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量 $x$ 的取值范围是全体实数， $x$ 与 $y$ 的几组对应值列表如下：

$x$	$\dots$	$- 3$	$- \frac{5}{2}$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	$\dots$	3	$\frac{5}{4}$	$m$	$- 1$	0	$- 1$	0	$\frac{5}{4}$	3	$\dots$

其中， $m =$ 　　．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．

（4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与 $x$ 轴有　　个交点，所以对应的方程 $x^{2} - 2 | x | = 0$ 有　　个实数根；

②方程 $x^{2} - 2 | x | = 2$ 有　　个实数根；

③关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 | x | = a$ 有4个实数根时， $a$ 的取值范围是　　．

学校准备购进一批节能灯，已知1只 $A$ 型节能灯和3只 $B$ 型节能灯共需26元；3只 $A$ 型节能灯和2只 $B$ 型节能灯共需29元．

（1）求一只 $A$ 型节能灯和一只 $B$ 型节能灯的售价各是多少元；

（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且 $A$ 型节能灯的数量不多于 $B$ 型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口 $C$ 处，测得正前方旗杆顶部 $A$ 点的仰角为 $37 °$ ，旗杆底部 $B$ 点的俯角为 $45 °$ ，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米 $/$ 秒的速度匀速上升？（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75)$

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，点 $M$ 是 $AC$ 的中点，以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ 分别交 $AC$ ， $BM$ 于点 $D$ ， $E$ ．

（1）求证： $MD = ME$ ；

（2）填空：

①若 $AB = 6$ ，当 $AD = 2 DM$ 时， $DE =$ 　　；

②连接 $OD$ ， $OE$ ，当 $∠ A$ 的度数为　　时，四边形 $ODME$ 是菱形．