计算-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $AD$ 是 $ΔABC$ 的角平分线， $BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AD$ 于点 $E$ ．点 $O$ 在 $A$ 边上，以点 $O$ 为圆心的 $⊙ O$ 经过 $B$ 、 $E$ 两点，交 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ BAC = 60 °$ ， $AC = 6$ ，求阴影部分的面积．

如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，延长 $CB$ 至点 $E$ ，使 $BE = BC$ ，连按 $AE$ ．

（1）求证：四边形 $ADBE$ 是平行四边形；

（2）若 $AB = 4$ ， $OB = \frac{5}{2}$ ，求四边形 $ADBE$ 的周长．

某中学以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的书籍类型的情况进行了随机抽样调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种书籍），并将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）求本次被调查学生的人数；

（2）请将上面的两幅统计图补充完整；

（3）若从2名最喜爱文学书籍和2名最喜爱科普书籍的学生中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是最喜爱文学书籍的概率．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OCDE$ 的顶点 $C$ 和 $E$ 分别在 $y$ 轴的正半轴和 $x$ 轴的正半轴上， $OC = 8$ ， $OE = 17$ ，抛物线 $y = \frac{3}{20} x^{2} - 3 x + m$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，抛物线的对称轴与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与 $CD$ 交于点 $K$ ．

（1）将矩形 $OCDE$ 沿 $AB$ 折叠，点 $O$ 恰好落在边 $CD$ 上的点 $F$ 处．

①点 $B$ 的坐标为 $($ 　　、　　 $)$ ， $BK$ 的长是　　， $CK$ 的长是　　；

②求点 $F$ 的坐标；

③请直接写出抛物线的函数表达式；

（2）将矩形 $OCDE$ 沿着经过点 $E$ 的直线折叠，点 $O$ 恰好落在边 $CD$ 上的点 $G$ 处，连接 $OG$ ，折痕与 $OG$ 相交于点 $H$ ，点 $M$ 是线段 $EH$ 上的一个动点（不与点 $H$ 重合），连接 $MG$ ， $MO$ ，过点 $G$ 作 $GP ⊥ OM$ 于点 $P$ ，交 $EH$ 于点 $N$ ，连接 $ON$ ，点 $M$ 从点 $E$ 开始沿线段 $EH$ 向点 $H$ 运动，至与点 $N$ 重合时停止， $ΔMOG$ 和 $ΔNOG$ 的面积分别表示为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，在点 $M$ 的运动过程中， $S_{1} \cdot S_{2}$ （即 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

在 $ΔABC$ 中， $AB = 6$ ， $AC = BC = 5$ ，将 $ΔABC$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转，得到 $ΔADE$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，点 $B$ 的对应点为点 $D$ ，点 $C$ 的对应点为点 $E$ ，连接 $BD$ ， $BE$ ．

（1）如图，当 $α = 60 °$ 时，延长 $BE$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．

①求证： $ΔABD$ 是等边三角形；

②求证： $BF ⊥ AD$ ， $AF = DF$ ；

③请直接写出 $BE$ 的长；

（2）在旋转过程中，过点 $D$ 作 $DG$ 垂直于直线 $AB$ ，垂足为点 $G$ ，连接 $CE$ ，当 $∠ DAG = ∠ ACB$ ，且线段 $DG$ 与线段 $AE$ 无公共点时，请直接写出 $BE + CE$ 的值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．