如图，⊙O的直径AB4，∠ABC30°，BC4，D是线段BC-优题课

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题文

如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4，D是线段BC的中点。

（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

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先化简 $(\frac{a}{a - 1} - 1) \div \frac{2}{a^{2} - a}$ ，然后从 $- 2 ⩽ a < 2$ 中选出一个合适的整数作为 $a$ 的值代入求值．

已知： $a = (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1) + | 1 - \sqrt{2} |$ ， $b = \sqrt{8} - 2 \sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ，求 $b - a$ 的算术平方根．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 顶点 $(2, - 1)$ ，经过点 $(0, 3)$ ，且与直线 $y = x - 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

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（3）在 $A$ ， $B$ 之间的抛物线弧上是否存在点 $P$ 满足 $∠ APB = 90 °$ ？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 之间的距离 $MN = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}})$

为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格 $m$ （元 $/$ 公斤）与第 $x$ 天之间满足 $m = \{\begin{matrix} 3 x + 15 (1 ⩽ x ⩽ 15), \\ - x + 75 (15 < x ⩽ 30) \cdot \end{matrix} (x$ 为正整数），销售量 $n$ （公斤）与第 $x$ 天之间的函数关系如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．

（1）求销售量 $n$ 与第 $x$ 天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润 $y$ 与第 $x$ 天之间的函数关系式；（日销售利润 $=$ 日销售额 $-$ 日维护费）

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如图，为了测量一栋楼的高度 $OE$ ，小明同学先在操场上 $A$ 处放一面镜子，向后退到 $B$ 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 $E$ ；再将镜子放到 $C$ 处，然后后退到 $D$ 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 $E (O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上），测得 $AC = 2 m$ ， $BD = 2.1 m$ ，如果小明眼睛距地面髙度 $BF$ ， $DG$ 为 $1.6 m$ ，试确定楼的高度 $OE$ ．

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