将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三-优题课

将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下右图的形式，使点，，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

科目数学题型解答题难度中等

如图，直线 $y = x - 3$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，抛物线的顶点为点 $D$ ，对称轴与 $x$ 轴的交点为点 $E$ ，点 $E$ 关于原点的对称点为 $F$ ，连接 $CE$ ，以点 $F$ 为圆心， $\frac{1}{2} CE$ 的长为半径作圆，点 $P$ 为直线 $y = x - 3$ 上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $ΔBDP$ 周长的最小值；

（3）若动点 $P$ 与点 $C$ 不重合，点 $Q$ 为 $⊙ F$ 上的任意一点，当 $PQ$ 的最大值等于 $\frac{3}{2} CE$ 时，过 $P$ ， $Q$ 两点的直线与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧），求四边形 $ABMN$ 的面积．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是 $⊙ O$ 上一点，且 $\hat{AC} = \hat{CF}$ ，连接 $FB$ ， $FD$ ， $FD$ 交 $AB$ 于点 $N$ ．

（1）若 $AE = 1$ ， $CD = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（2）求证： $ΔBNF$ 为等腰三角形；

（3）连接 $FC$ 并延长，交 $BA$ 的延长线于点 $P$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $BA$ 的延长线于点 $M$ ．求证： $ON \cdot OP = OE \cdot OM$ ．

如图，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, 2)$ ，将线段 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $AC$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象经过点 $C$ ．

（1）求直线 $AB$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 图象上的一个动点，求点 $P$ 到直线 $AB$ 距离最短时的坐标．

小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．

（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？

（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？

平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．

已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = CD$ ， $AD = BC$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形．

证明：